Cho hàm số $y=f\left( x...

Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=x^2+2bx+c$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $A(0;-{\displaystyle \frac{1}{3}})$ nên $d=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$.
Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm phân biệt của $f^{\prime }\left(x\right)$. Áp dụng định lí Viet ta có
$\{\begin{array}{rl}& x_1+x_2=-2b\\ & x_1.x_2=c\end{array}$
Mà theo giả thiết $2x_1-x_2=-1$
Suy ra $\{\begin{array}{rl}& x_1={\displaystyle \frac{-2b-1}{3}}\\ & x_2={\displaystyle \frac{1-4b}{3}}\\ & x_1.x_2=c\end{array}\Rightarrow {\displaystyle \frac{(2b+1)(4b-1)}{9}}=c\left(1\right)$
Từ giả thiết suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A(x_1;f\left(x_1\right)),B(x_2;f\left(x_2\right))$ $\Rightarrow I({\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}};{\displaystyle \frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2}})=(-b;{\displaystyle \frac{1}{3}})$ là tâm đối xứng của đồ thị.
Mà $I$ thuộc đồ thị hàm số $f\left(x\right)$ nên
$-{\displaystyle \frac{b^3}{3}}+b^3-bc-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\iff 2b^3-3bc-2=0\iff c={\displaystyle \frac{2b^3-2}{3b}}\left(2\right)$
Từ (1) và (2) suy ra:
$(2b+1)(4b-1)b=3(2b^3-2)\iff 2b^3+2b^2-b+6=0\iff b=-2\Rightarrow c=3$
$\Rightarrow f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-2x^2+3x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow 3f\left(x\right)+1=x{(x-3)}^2$
$\Rightarrow y=g\left(x\right)=f\left({\displaystyle \frac{x(3f\left(x\right)+1)}{{(x-3)}^2}}\right)=f\left(x^2\right)\Rightarrow g^{\prime }\left(x\right)=2x.f^{\prime }\left(x^2\right)$
Ta thấy $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& x_1=1\\ & x_2=3\end{array}$
$g^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x^2=1\\ & x^2=3\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=\pm 1\\ & x=\pm \sqrt{3}\end{array}$
Bảng xét dấu của $g^{\prime }\left(x\right)$ :
Vậy hàm số đã cho có $3$ điểm cực tiểu.