Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $2f\left(2x \right)+f\left(1-2x \right)=12{{x}^{2}}\forall...

Phương trình tiếp tuyến $\left( d \right)$ của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ bằng 1 có dạng $y=f'\left( 1 \right).\left( x-1 \right)+f\left( 1 \right).$
Ta cần tìm $f\left( 1 \right)$ và $f'\left( 1 \right).$ Xét phương trình: $2f\left( 2x \right)+f\left( 1-2x \right)=12{{x}^{2}}\forall x\in \mathbb{R}.\left( * \right)$
-> Ta tìm $f\left( 1 \right):$
* Thay $x=0$ vào $\left( * \right),$ ta được: $2f\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)=0.\left( 1 \right)$
* Thay $x=\dfrac{1}{2}$ vào (*), ta được: $2f\left( 1 \right)+f\left( 0 \right)=3.\text{ (2)}$
* Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $f\left( 1 \right)=2.$
-> Ta tìm $f'\left( 1 \right):$
* Đạo hàm hai vế của (*), ta được: $4.f'\left( 2x \right)-2f'\left( 1-2x \right)=24x\forall x\in \mathbb{R}.(**)$
* Thay $x=0$ vào (**), ta được: $4.f'\left( 0 \right)-2.f'\left( 1 \right)=0.\left( 3 \right)$
* Thay $x=\dfrac{1}{2}$ vào (**), ta được: $4.f'\left( 1 \right)-2.f'\left( 0 \right)=12.\left( 4 \right)$
* Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra $f'\left( 1 \right)=4.$
Như vậy, tiếp tuyến $\left( d \right)$ có phương trình là: $y=4\left( x-1 \right)+2\Leftrightarrow y=4x-2.$
Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của $\left( d \right)$ với $Ox$ và $Oy,$ ta được $A\left( \dfrac{1}{2};0 \right)$ và $B\left( 0;-2 \right).$
$\Rightarrow OA=\dfrac{1}{2},OB=2.$
Vậy $S=\dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{1}{2}$ (đvtt).