Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có...

Để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2\left| x \right|+\dfrac{m}{2} \right)$ có 9 điểm cực trị thì hàm số $f\left( {{x}^{2}}-2x+\dfrac{m}{2} \right)$ phải có 4 điểm cực trị dương.
Đặt $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x+\dfrac{m}{2} \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2\left( x-1 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-2x+\dfrac{m}{2} \right)$
Do hàm số $y=f\left( x \right)$ đạt cực trị tại $x=0$, $x=1$ và $x=2$ nên ta xét các phương trình:
$\left[ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-2x+\dfrac{m}{2}=0 \\
{{x}^{2}}-2x+\dfrac{m}{2}=1 \\
{{x}^{2}}-2x+\dfrac{m}{2}=2 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-2x=\dfrac{-m}{2} \\
{{x}^{2}}-2x=1-\dfrac{m}{2} \\
{{x}^{2}}-2x=2-\dfrac{m}{2} \\
\end{matrix} \right.\left( * \right)$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $h\left( x \right)={{x}^{2}}-2x$ trên $\left( 0;+\infty \right)$ như sau:
Để số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2x+\dfrac{m}{2} \right)$ phải có 4 điểm cực trị dương thì $\left( * \right)$ phải có 3 nghiệm bội lẻ dương và khác 1 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\dfrac{-m}{2}\ge 0 \\
-1<1-\dfrac{m}{2}<0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m\le 0 \\
2<m<4 \\
\end{matrix} \right.$.