Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R},$ có đồ thị $f\left( x \right)$ như hình vẽ. Hàm số $g\left(x \right)=f\left(...

Phương pháp:
- Tính đạo hàm hàm số $g\left( x \right).$
- Giải phương trình $g'\left( x \right)=0.$
- Lập BBT của hàm số $g\left( x \right)$ và suy ra điểm cực tiểu của hàm số.
Cách giải:
Ta có: $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}}+x \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)f'\left( {{x}^{3}}+x \right).$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( 3{{x}^{2}}+1 \right)f'\left( {{x}^{3}}+x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( {{x}^{3}}+x \right)=0.$
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực trị $x=0,x=2.$
Do đó $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}+x=0 \\
& {{x}^{3}}+x=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right..$
Chọn $x=2$ ta có $g'\left( 2 \right)=13f'\left( 10 \right)<0,$ các nghiệm $x=0,x=1$ là các nghiệm đơn nên qua các nghiệm này $g'\left( x \right)$ đổi dấu.
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy điểm cực tiểu của hàm số $y=g\left( x \right)$ là ${{x}_{0}}=0\in \left( -1;1 \right).$