Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $f\left( 2-\sqrt{2x-{{x}^{2}}} \right)=m$ có nghiệm.
A. 6
B. 3
C. 7
D. 2
Điều kiện $x\in \left[ 0;2 \right].$
Đặt $t=2-\sqrt{2x-{{x}^{2}}}.$
Ta có $t'=\dfrac{x-1}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}},\forall x\in \left( 0;2 \right).$
$t'=0\Leftrightarrow x=1.$
Bảng biến thiên của hàm $t=2-\sqrt{2x-{{x}^{2}}}$ trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$ như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra $t\in \left[ 1;2 \right].$
Khi $t\in \left[ 1;2 \right]$, quan sát đồ thị ta thấy $f\left( t \right)\in \left[ 3;5 \right].$
Vậy phương trình $f\left( 2-\sqrt{2x-{{x}^{2}}} \right)=m$ có nghiệm $x\in \left[ 0;2 \right]$ khi phương trình $f\left( t \right)=m$ có nghiệm $t\in \left[ 1;2 \right]$. Điều này chỉ có $\Leftrightarrow m\in \left[ 3;5 \right].$
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 3;4;5 \right\}.$ Vậy có ba giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
A. 6
B. 3
C. 7
D. 2
Điều kiện $x\in \left[ 0;2 \right].$
Đặt $t=2-\sqrt{2x-{{x}^{2}}}.$
Ta có $t'=\dfrac{x-1}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}},\forall x\in \left( 0;2 \right).$
$t'=0\Leftrightarrow x=1.$
Bảng biến thiên của hàm $t=2-\sqrt{2x-{{x}^{2}}}$ trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$ như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra $t\in \left[ 1;2 \right].$
Khi $t\in \left[ 1;2 \right]$, quan sát đồ thị ta thấy $f\left( t \right)\in \left[ 3;5 \right].$
Vậy phương trình $f\left( 2-\sqrt{2x-{{x}^{2}}} \right)=m$ có nghiệm $x\in \left[ 0;2 \right]$ khi phương trình $f\left( t \right)=m$ có nghiệm $t\in \left[ 1;2 \right]$. Điều này chỉ có $\Leftrightarrow m\in \left[ 3;5 \right].$
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 3;4;5 \right\}.$ Vậy có ba giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.