Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}+3x-4$. Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}=\sqrt[3]{f\left( x \right)+m}+m$ có đúng hai nghiệm phân biệt?
A. Vô số.
B. 2.
C. 4.
D. 5.
A. Vô số.
B. 2.
C. 4.
D. 5.
Đặt $u=\sqrt[3]{f\left( x \right)+m}\Rightarrow {{u}^{3}}=f\left( x \right)+m$. Khi đó, ${{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}=u+m$
$\Rightarrow {{u}^{3}}+u={{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}+f\left( x \right)\text{ }\left( * \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}+x\Rightarrow {g}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$
Hàm số $y=g\left( x \right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow u=f\left( x \right)\Leftrightarrow {{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}-m=f\left( x \right)\Leftrightarrow {{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}-f\left( x \right)=m\text{ }\left( ** \right)$
Đặt $t=f\left( x \right)\Rightarrow \left( ** \right)\Leftrightarrow {{t}^{3}}-t=m$
Xét hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}+3x-4\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+3>0,\forall x\in \mathbb{R}$
Hàm số $y=f\left( x \right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
Mỗi giá trị của t cho duy nhất một nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}+3x-4=t$
Phương trình ${{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}=\sqrt[3]{f\left( x \right)+m}+m$ có đúng hai nghiệm phân biệt thì phương trình ${{t}^{3}}-t=m$ có đúng hai nghiệm phân biệt.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}-t\Rightarrow {f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-1$
${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có phương trình ${{t}^{3}}-t=m$ có đúng hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m=\pm \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$.
$\Rightarrow {{u}^{3}}+u={{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}+f\left( x \right)\text{ }\left( * \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}+x\Rightarrow {g}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$
Hàm số $y=g\left( x \right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow u=f\left( x \right)\Leftrightarrow {{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}-m=f\left( x \right)\Leftrightarrow {{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}-f\left( x \right)=m\text{ }\left( ** \right)$
Đặt $t=f\left( x \right)\Rightarrow \left( ** \right)\Leftrightarrow {{t}^{3}}-t=m$
Xét hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}+3x-4\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+3>0,\forall x\in \mathbb{R}$
Hàm số $y=f\left( x \right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
Mỗi giá trị của t cho duy nhất một nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}+3x-4=t$
Phương trình ${{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}=\sqrt[3]{f\left( x \right)+m}+m$ có đúng hai nghiệm phân biệt thì phương trình ${{t}^{3}}-t=m$ có đúng hai nghiệm phân biệt.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}-t\Rightarrow {f}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-1$
${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có phương trình ${{t}^{3}}-t=m$ có đúng hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m=\pm \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$.
Đáp án B.