Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^3+3x-4$. Có bao nhiêu giá...

Đặt $u=\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}\Rightarrow u^3=f\left(x\right)+m$. Khi đó, ${\left(f\left(x\right)\right)}^3=u+m$
$\Rightarrow u^3+u={\left(f\left(x\right)\right)}^3+f\left(x\right)(\ast )$
Xét hàm số $g\left(x\right)=x^3+x\Rightarrow g^{\prime }\left(x\right)=3x^2+1>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$
Hàm số $y=g\left(x\right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
$\iff (\ast )\iff u=f\left(x\right)\iff {\left(f\left(x\right)\right)}^3-m=f\left(x\right)\iff {\left(f\left(x\right)\right)}^3-f\left(x\right)=m(\ast \ast )$
Đặt $t=f\left(x\right)\Rightarrow (\ast \ast )\iff t^3-t=m$
Xét hàm số $y=f\left(x\right)=x^3+3x-4\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=3x^2+3>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$
Hàm số $y=f\left(x\right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
Mỗi giá trị của t cho duy nhất một nghiệm của phương trình $x^3+3x-4=t$
Phương trình ${\left(f\left(x\right)\right)}^3=\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}+m$ có đúng hai nghiệm phân biệt thì phương trình $t^3-t=m$ có đúng hai nghiệm phân biệt.
Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3-t\Rightarrow f^{\prime }\left(t\right)=3t^2-1$
$f^{\prime }\left(t\right)=0\iff t=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có phương trình $t^3-t=m$ có đúng hai nghiệm phân biệt $\iff m=\pm {\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}}$.