Cho hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Phương trình $\dfrac{f\left(f\left( x \right)...

Ta có $\dfrac{f\left( f\left( x \right) \right)-4}{2{{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+1}=-4\Leftrightarrow \dfrac{{{f}^{3}}\left( x \right)-3{{f}^{2}}\left( x \right)-4}{2{{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+1}=-4$
$\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( x \right)+5{{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=-1 \\
& f\left( x \right)=-4 \\
\end{aligned} \right..$
Từ đồ thị hàm số đã vẽ ta có $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right. $ và $ f\left( x \right)=-4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right..$
Phương trình $f\left( x \right)=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=a \\
& x=b \\
& x=c \\
\end{aligned} \right. $ với $ a,b,c $ đôi một khác nhau và cùng khác với các phần tử thuộc tập $ \left\{ -1;0;2;3 \right\}.$
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm.