Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ thỏa mãn ${{2020}^{f\left( x \right)}}=x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020},\forall x\in \mathbb{R}\left| {} \right.$. Có bao...

Vì $x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020}>x+\left| x \right|\ge 0\Rightarrow x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020}>0,\forall x\in \mathbb{R}.$
Từ giả thiết ${{2020}^{f\left( x \right)}}=x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020}\Leftrightarrow f\left( x \right)={{\log }_{2020}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020} \right).$
Ta có $f'\left( x \right)=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}}{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020} \right)\ln 2020}=\dfrac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+2020} \right)\ln 2020\sqrt{{{x}^{2}}+2020}}>0,\forall x\in \mathbb{R}$
Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Mà với $\left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m\ne 1 \\
\end{aligned} \right. $ thì $ f\left( \log m \right)<f\left( {{\log }_{m}}2020 \right)\Leftrightarrow \log m<{{\log }_{m}}2020$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{\log }^{2}}m-\log 2020}{\log m}<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 0<\log m<\sqrt{\log 2020} \\
& \log m<-\sqrt{\log 2020} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 1<m<{{10}^{\sqrt{\log 2020}}}\approx 65,78 \\
& m<{{10}^{-\sqrt{\log 2020}}}\approx 0,02 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp với $\left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m\ne 1 \\
\end{aligned} \right. $ và $ m\in \mathbb{Z} $ nên $ m\in \left\{ 2;3;...;65 \right\}.$
Vậy có tất cả 64 giá trị nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.