Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${y = f\left( x \right) = {m^2}\left( {\sqrt {2 + x} + \sqrt {2 - x} } \right) + 4\sqrt {4 - {x^2}} + m + 1}$. Tổng các giá trị của ${m}$ để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng ${4}$ là
A. ${\dfrac{5}{2}}$.
B. ${\dfrac{{ - 7}}{2}}$.
C. ${\dfrac{1}{2}}$.
D. ${\dfrac{{ - 1}}{2}}$.
A. ${\dfrac{5}{2}}$.
B. ${\dfrac{{ - 7}}{2}}$.
C. ${\dfrac{1}{2}}$.
D. ${\dfrac{{ - 1}}{2}}$.
Tập xác định $D=\left[ -2;2 \right].$ Đặt $t=\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x},t\ge 0\Rightarrow {{t}^{2}}=4+2\sqrt{2+x}\sqrt{2-x}\ge 4$
và ${{t}^{2}}\le 4+\left( 2+x+2-x \right)=8$ do đó $2\le t\le 2\sqrt{2}$ và $4\sqrt{4-{{x}^{2}}}=2\left( {{t}^{2}}-4 \right)$
Vì vậy, $y={{m}^{2}}.t+2\left( {{t}^{2}}-4 \right)+m+1=2{{t}^{2}}+{{m}^{2}}t+m-7$ với $2\le t\le 2\sqrt{2}$
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của $y=2{{t}^{2}}+{{m}^{2}}t+m-7$ trên đoạn $\left[ 2;2\sqrt{2} \right]$
Có $y'=4t+{{m}^{2}}>0\Rightarrow y$ đồng biến trên $\left[ 2;2\sqrt{2} \right]\underset{\left[ 2;2\sqrt{2} \right]}{\mathop{\min y}} =y\left( 2 \right)=2{{m}^{2}}+m+1$.
Theo đề bài, ta có $2{{m}^{2}}+m+1=4\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+m3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-\dfrac{-3}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Tổng các giá trị của m thỏa mãn là $1+\dfrac{-3}{2}=\dfrac{-1}{2}$
và ${{t}^{2}}\le 4+\left( 2+x+2-x \right)=8$ do đó $2\le t\le 2\sqrt{2}$ và $4\sqrt{4-{{x}^{2}}}=2\left( {{t}^{2}}-4 \right)$
Vì vậy, $y={{m}^{2}}.t+2\left( {{t}^{2}}-4 \right)+m+1=2{{t}^{2}}+{{m}^{2}}t+m-7$ với $2\le t\le 2\sqrt{2}$
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của $y=2{{t}^{2}}+{{m}^{2}}t+m-7$ trên đoạn $\left[ 2;2\sqrt{2} \right]$
Có $y'=4t+{{m}^{2}}>0\Rightarrow y$ đồng biến trên $\left[ 2;2\sqrt{2} \right]\underset{\left[ 2;2\sqrt{2} \right]}{\mathop{\min y}} =y\left( 2 \right)=2{{m}^{2}}+m+1$.
Theo đề bài, ta có $2{{m}^{2}}+m+1=4\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+m3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-\dfrac{-3}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Tổng các giá trị của m thỏa mãn là $1+\dfrac{-3}{2}=\dfrac{-1}{2}$
Đáp án D.