Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $5f\left( x \right)-7f\left( 1-x \right)=3\left( {{x}^{2}}-2x \right),\forall x\in \mathbb{R}.$ Biết rằng tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{x.f'\left( x \right)dx}=-\dfrac{a}{b}$ (với $a,b$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $T=3a-b.$
A. $T=0$
B. $T=-48$
C. $T=16$
D. $T=1$
A. $T=0$
B. $T=-48$
C. $T=16$
D. $T=1$
Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần xử lý $I=\int\limits_{0}^{1}{x.f'\left( x \right)dx}.$
- Thay $x=0,x=1$ vào $5f\left( x \right)-7f\left( 1-x \right)=3\left( {{x}^{2}}-2x \right),$ giải hệ tìm $f\left( 1 \right).$
- Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế của $5f\left( x \right)-7f\left( 1-x \right)=3\left( {{x}^{2}}-2x \right),$ tính $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.$
Cách giải:
Xét tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{x.f'\left( x \right)dx}.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right., $ khi đó ta có $ I=xf\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=f\left( 1 \right)-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.$
Theo bài ra ta có: $5f\left( x \right)-7f\left( 1-x \right)=3\left( {{x}^{2}}-2x \right)$
Thay $x=0\Rightarrow 5f\left( 0 \right)-7f\left( 1 \right)=0$
Thay $x=1\Rightarrow 5f\left( 1 \right)-7f\left( 0 \right)=-3$
$\Rightarrow f\left( 0 \right)=\dfrac{7}{8},f\left( 1 \right)=\dfrac{5}{8}.$
Xét tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.$
Từ $5f\left( x \right)-7f\left( 1-x \right)=3\left( {{x}^{2}}-2x \right)$ lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta có:
$5\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}-7\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{3\left( {{x}^{2}}-2x \right)dx}.$
$\Leftrightarrow 5\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+7\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)d\left( 1-x \right)}=-2$
$\Leftrightarrow 5\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+7\int\limits_{1}^{0}{f\left( x \right)dx}=-2$
$\Leftrightarrow 5\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}-7\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=-2$
$\Leftrightarrow -2\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=-2$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=1$
Suy ra $I=f\left( 1 \right)-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{5}{8}-1=-\dfrac{3}{8}\Rightarrow a=3,b=8.$
Vậy $T=3a-b=3.3-8=1.$
- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần xử lý $I=\int\limits_{0}^{1}{x.f'\left( x \right)dx}.$
- Thay $x=0,x=1$ vào $5f\left( x \right)-7f\left( 1-x \right)=3\left( {{x}^{2}}-2x \right),$ giải hệ tìm $f\left( 1 \right).$
- Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế của $5f\left( x \right)-7f\left( 1-x \right)=3\left( {{x}^{2}}-2x \right),$ tính $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.$
Cách giải:
Xét tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{x.f'\left( x \right)dx}.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=f'\left( x \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right., $ khi đó ta có $ I=xf\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=f\left( 1 \right)-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.$
Theo bài ra ta có: $5f\left( x \right)-7f\left( 1-x \right)=3\left( {{x}^{2}}-2x \right)$
Thay $x=0\Rightarrow 5f\left( 0 \right)-7f\left( 1 \right)=0$
Thay $x=1\Rightarrow 5f\left( 1 \right)-7f\left( 0 \right)=-3$
$\Rightarrow f\left( 0 \right)=\dfrac{7}{8},f\left( 1 \right)=\dfrac{5}{8}.$
Xét tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}.$
Từ $5f\left( x \right)-7f\left( 1-x \right)=3\left( {{x}^{2}}-2x \right)$ lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta có:
$5\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}-7\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{3\left( {{x}^{2}}-2x \right)dx}.$
$\Leftrightarrow 5\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+7\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)d\left( 1-x \right)}=-2$
$\Leftrightarrow 5\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+7\int\limits_{1}^{0}{f\left( x \right)dx}=-2$
$\Leftrightarrow 5\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}-7\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=-2$
$\Leftrightarrow -2\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=-2$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=1$
Suy ra $I=f\left( 1 \right)-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{5}{8}-1=-\dfrac{3}{8}\Rightarrow a=3,b=8.$
Vậy $T=3a-b=3.3-8=1.$
Đáp án D.