Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${y=f\left( x \right)}$ liên tục trên ${\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}}$ và có bảng biến thiên như sau.
Tìm số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ${y=g(x)=\dfrac{1}{2f\left( x \right)-3}}$.
A. Không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
B. 2 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang.
C. 2 tiệm cận ngang, 1 tiệm cận đứng.
D. 1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang.
Tìm số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ${y=g(x)=\dfrac{1}{2f\left( x \right)-3}}$.
A. Không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
B. 2 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang.
C. 2 tiệm cận ngang, 1 tiệm cận đứng.
D. 1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang.
Từ bảng biến thiên ta có $\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}} f\left( x \right)=+\infty n\hat{e}n\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}} g\left( x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}} \dfrac{1}{2f\left( x \right)-3}=0\Rightarrow $ đường thẳng $y=0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right).$
Tương tự $\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}} f\left( x \right)=+\infty n\hat{e}n\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}} g\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}} \dfrac{1}{2f\left( x \right)-3}=0\Rightarrow $ đường thẳng $y=0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right).$
Xét hàm số $y=f\left( x \right)$ trên tập $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ ta có phương trình $f\left( x \right)=\dfrac{3}{2}$ có hai nghiệm phân biệt $1<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<2.$
Ta có $\underset{x\to {{x}_{1}}^{+}}{\mathop{lim}} g\left( x \right)=\underset{x\to {{x}_{1}}^{+}}{\mathop{lim}} \dfrac{1}{2f\left( x \right)-3}=+\infty ;\underset{x\to {{x}_{1}}^{-}}{\mathop{lim}} g\left( x \right)=\underset{x\to {{x}_{1}}^{-}}{\mathop{lim}} \dfrac{1}{2f\left( x \right)-3}=-\infty $ nên đường thắng $x={{x}_{1}}$ là một đường tiệm đứng của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right).$
Tương tự $\underset{x\to {{x}_{2}}^{+}}{\mathop{lim}} g\left( x \right)=\underset{x\to {{x}_{2}}^{+}}{\mathop{lim}} \dfrac{1}{2f\left( x \right)-3}=-\infty ;\underset{x\to {{x}_{2}}^{-}}{\mathop{lim}} g\left( x \right)=\underset{x\to {{x}_{2}}^{-}}{\mathop{lim}} \dfrac{1}{2f\left( x \right)-3}=-\infty $ nên đường thẳng $x={{x}_{2}}$ là một đường tiệm đứng của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right).$
Vậy đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)=\dfrac{1}{2f\left( x \right)-3}$ có một đường tiệm cận ngang và hai đường tiệm cận đứng.
Tương tự $\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}} f\left( x \right)=+\infty n\hat{e}n\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}} g\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}} \dfrac{1}{2f\left( x \right)-3}=0\Rightarrow $ đường thẳng $y=0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right).$
Xét hàm số $y=f\left( x \right)$ trên tập $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ ta có phương trình $f\left( x \right)=\dfrac{3}{2}$ có hai nghiệm phân biệt $1<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<2.$
Ta có $\underset{x\to {{x}_{1}}^{+}}{\mathop{lim}} g\left( x \right)=\underset{x\to {{x}_{1}}^{+}}{\mathop{lim}} \dfrac{1}{2f\left( x \right)-3}=+\infty ;\underset{x\to {{x}_{1}}^{-}}{\mathop{lim}} g\left( x \right)=\underset{x\to {{x}_{1}}^{-}}{\mathop{lim}} \dfrac{1}{2f\left( x \right)-3}=-\infty $ nên đường thắng $x={{x}_{1}}$ là một đường tiệm đứng của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right).$
Tương tự $\underset{x\to {{x}_{2}}^{+}}{\mathop{lim}} g\left( x \right)=\underset{x\to {{x}_{2}}^{+}}{\mathop{lim}} \dfrac{1}{2f\left( x \right)-3}=-\infty ;\underset{x\to {{x}_{2}}^{-}}{\mathop{lim}} g\left( x \right)=\underset{x\to {{x}_{2}}^{-}}{\mathop{lim}} \dfrac{1}{2f\left( x \right)-3}=-\infty $ nên đường thẳng $x={{x}_{2}}$ là một đường tiệm đứng của đồ thị hàm số $y=g\left( x \right).$
Vậy đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)=\dfrac{1}{2f\left( x \right)-3}$ có một đường tiệm cận ngang và hai đường tiệm cận đứng.
Đáp án B.