Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên R có đồ thị...

Phương pháp:
- Tính đạo hàm của hàm số g( x) . Xác định các nghiệm của phương trình $g'\left( x \right)=0.~$
- Xét dấu $g'\left( x \right)$ thông qua $f'\left( x \right)$.
- Lập bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ rồi kết luận giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[ -2;4 \right]$.
Cách giải:
Ta có $g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{x}^{2}}\Rightarrow g'\left( x \right)=2f'\left( x \right)-2x$
Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)=x\left( 1 \right)$.
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right);y=x.$
Vẽ đường thẳng y= xvà đồ thị hàm số y= f' ( x) trên cùng hệ trục tọa độ:

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hai hàm số $y=f'\left( x \right);y=x$ cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ là $-2;2;4$
$\Rightarrow g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=2 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên đồ thị hàm số y= g( x) :

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số g( x) trên đoạn $\left[ -2;4 \right]$ là $g\left( 2 \right)$.