Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn ${{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}+2f\left( x \right)=1-x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Tích phân $\int\limits_{-2}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\dfrac{a}{b}$, biết $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.
A. $11$.
B. $305$.
C. $65$.
D. $41$.
A. $11$.
B. $305$.
C. $65$.
D. $41$.
Đặt $t=f\left( x \right)$ ta có ${{t}^{3}}+2t=1-x\Rightarrow \left( 3{{t}^{2}}+2 \right)\text{d}t=-\text{d}x\Leftrightarrow \text{d}x=-\left( 3{{t}^{2}}+2 \right)\text{d}t$.
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2\Rightarrow t=1 \\
& x=1 \Rightarrow t=0 \\
\end{aligned} \right.$.
$I=\int\limits_{-2}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=-\int\limits_{1}^{0}{t\left( 3{{t}^{2}}+2 \right)\text{d}t}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 3{{t}^{3}}+2t \right)\text{d}t}=\left. \left( \dfrac{3}{4}{{t}^{4}}+{{t}^{2}} \right) \right|_{0}^{1}=\dfrac{7}{4}$.
Vậy ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{7}^{2}}+{{4}^{2}}=65$.
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2\Rightarrow t=1 \\
& x=1 \Rightarrow t=0 \\
\end{aligned} \right.$.
$I=\int\limits_{-2}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=-\int\limits_{1}^{0}{t\left( 3{{t}^{2}}+2 \right)\text{d}t}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 3{{t}^{3}}+2t \right)\text{d}t}=\left. \left( \dfrac{3}{4}{{t}^{4}}+{{t}^{2}} \right) \right|_{0}^{1}=\dfrac{7}{4}$.
Vậy ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{7}^{2}}+{{4}^{2}}=65$.
Đáp án C.