Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn ${{f}^{3}}\left( x \right)+f\left( x \right)=x$ với mọi $x\in \mathbb{R}.$ Tính $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}.$
A. $I=\dfrac{14}{5}.$
B. $I=-\dfrac{5}{4}.$
C. $I=\dfrac{5}{4}$
D. $I=-\dfrac{14}{5}.$
A. $I=\dfrac{14}{5}.$
B. $I=-\dfrac{5}{4}.$
C. $I=\dfrac{5}{4}$
D. $I=-\dfrac{14}{5}.$
+) Đặt $t=f\left( x \right)\Rightarrow {{t}^{3}}+t=x\Rightarrow dx=\left( 3{{t}^{2}}+1 \right)dt$
+) $x=0\Rightarrow {{t}^{3}}+t=0\Rightarrow t=0$
$x=2\Rightarrow {{t}^{3}}+t=2\Rightarrow t=1$
Do đó $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{t\left( 3{{t}^{2}}+1 \right)dt}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 3{{t}^{3}}+t \right)dt}=\left( \dfrac{3}{4}{{t}^{4}}+\dfrac{1}{2}{{t}^{2}} \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{5}{4}$
+) $x=0\Rightarrow {{t}^{3}}+t=0\Rightarrow t=0$
$x=2\Rightarrow {{t}^{3}}+t=2\Rightarrow t=1$
Do đó $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{t\left( 3{{t}^{2}}+1 \right)dt}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 3{{t}^{3}}+t \right)dt}=\left( \dfrac{3}{4}{{t}^{4}}+\dfrac{1}{2}{{t}^{2}} \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{5}{4}$
Đáp án C.