Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} ; -2<{{x}_{1}}<-1 \\
& x={{x}_{2}} ; 0<{{x}_{2}}<1 \\
& x={{x}_{3}} ; 1<{{x}_{3}}<2 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó phương trình $f\left( f\left( \cos x \right) \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( \cos x \right)={{x}_{1}} ; -2<{{x}_{1}}<-1 \\
& f\left( \cos x \right)={{x}_{2}} ; 0<{{x}_{2}}<1 \\
& f\left( \cos x \right)={{x}_{3}} ; 1<{{x}_{3}}<2 \\
\end{aligned} \right.$.
Xét phương trình $f\left( \cos x \right)=m$.
Đặt $t=\cos x; \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow t\in \left[ -1 ; 1 \right]$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ trên $\left[ -1 ; 1 \right]$ ta có:
$f\left( \cos x \right)={{x}_{1}} ; -2<{{x}_{1}}<-1$ : phương trình vô nghiệm.
$f\left( \cos x \right)={{x}_{2}} ; 0<{{x}_{2}}<1$ : phương trình có nghiệm $\cos x=a ; 0<a <1$.
$f\left( \cos x \right)={{x}_{3}} ; 1<{{x}_{3}}<2$ : phương trình có nghiệm $\cos x=b ; -1<b<0$.
Xét bảng biến thiên của hàm số $y=\cos x$ trên $\left[ 0;\dfrac{7\pi }{2} \right]$ ta có.

Từ đó ta có
Phương trình có nghiệm $\cos x=a ; 0<a <1$ có 3 nghiệm thuộc đoạn $\left[ 0;\dfrac{7\pi }{2} \right]$.
Phương trình có nghiệm $\cos x=b ; -1<b<0$ có 4 nghiệm thuộc đoạn $\left[ 0;\dfrac{7\pi }{2} \right]$.
Rõ ràng các nghiệm này phân biệt.
Vậy có phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thuộc đoạn $\left[ 0;\dfrac{7\pi }{2} \right]$.