Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Đặt $2\sin x+1=t$. Khi $x\in \left[ 0 ;\dfrac{\pi }{6} \right)$ thì $t\in \left[ 1 ;2 \right)$. Bài toán trở thành tìm điều kiện của $m$ để phương trình $f\left( t \right)=m$ có nghiệm trên nửa khoảng $\left[ 1 ;2 \right)$. Từ đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ ta suy ra đồ thị của hàm số $f\left( t \right)$ trên $\left[ 1 ;2 \right)$ như sau:
Dựa vào đồ thị: Phương trình $f\left( t \right)=m$ có nghiệm trên $\left[ 1 ;2 \right)$ khi và chỉ khi $-2<m\le 0$.
Vậy tập hợp tất cả giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f\left( 2\sin x+1 \right)=m$ có nghiệm thuộc nửa khoảng $\left[ 0 ;\dfrac{\pi }{6} \right)$ là $\left( -2 ;0 \right]$.