Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho phương trình $2f\left( \sin x-\cos x \right)=m-1$ có hai nghiệm phân biệt trên khoảng $\left( -\dfrac{\pi }{4} ; \dfrac{3\pi }{4} \right)$ ?
A. $13$.
B. $12$.
C. $11$.
D. $21$.
A. $13$.
B. $12$.
C. $11$.
D. $21$.
x $2f\left( \sin x-\cos x \right)=m-1$ $\left( 1 \right)$.
Đặt $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)$ $\left( * \right)$.
Ta có: $x\in \left( -\dfrac{\pi }{4} ; \dfrac{3\pi }{4} \right)\Rightarrow x-\dfrac{\pi }{4}\in \left( -\dfrac{\pi }{2} ; \dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \sin \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)\in \left( -1 ; 1 \right)\Rightarrow t\in \left( -\sqrt{2} ; \sqrt{2} \right)$.
Với mỗi $t\in \left( -\sqrt{2} ; \sqrt{2} \right)$ thì phương trình $\left( * \right)$ có một nghiệm $x$ tương ứng.
Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành: $\dfrac{m-1}{2}=f\left( t \right)$ $\left( 2 \right)$.
$\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt trên khoảng $\left( -\dfrac{\pi }{4} ; \dfrac{3\pi }{4} \right)$ $\Leftrightarrow $ $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm $t$ phân biệt trên khoảng $\left( -\sqrt{2} ; \sqrt{2} \right)$ $\Leftrightarrow -4<\dfrac{m-1}{2}<3\Leftrightarrow -7<m<7$.
Mà $m\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow m\in \left\{ -6 ; -5 ; ...; 5 ; 6 \right\}$.
Vậy có $13$ giá trị $m$ nguyên thỏa đề bài.
Đặt $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)$ $\left( * \right)$.
Ta có: $x\in \left( -\dfrac{\pi }{4} ; \dfrac{3\pi }{4} \right)\Rightarrow x-\dfrac{\pi }{4}\in \left( -\dfrac{\pi }{2} ; \dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \sin \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)\in \left( -1 ; 1 \right)\Rightarrow t\in \left( -\sqrt{2} ; \sqrt{2} \right)$.
Với mỗi $t\in \left( -\sqrt{2} ; \sqrt{2} \right)$ thì phương trình $\left( * \right)$ có một nghiệm $x$ tương ứng.
Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành: $\dfrac{m-1}{2}=f\left( t \right)$ $\left( 2 \right)$.
$\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt trên khoảng $\left( -\dfrac{\pi }{4} ; \dfrac{3\pi }{4} \right)$ $\Leftrightarrow $ $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm $t$ phân biệt trên khoảng $\left( -\sqrt{2} ; \sqrt{2} \right)$ $\Leftrightarrow -4<\dfrac{m-1}{2}<3\Leftrightarrow -7<m<7$.
Mà $m\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow m\in \left\{ -6 ; -5 ; ...; 5 ; 6 \right\}$.
Vậy có $13$ giá trị $m$ nguyên thỏa đề bài.
Đáp án A.