Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ để phương trình $f\left( \sin x \right)=2\sin x+m$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0; \pi \right)$. Tổng các phần tử của $S$ bằng
A. $-10\cdot $
B. $-8\cdot $
C. $-6\cdot $
D. $-5\cdot $
B. $-8\cdot $
C. $-6\cdot $
D. $-5\cdot $
Đặt $t=\sin x$. Vì $x\in \left( 0; \pi \right)$ nên $t\in \left( 0; 1 \right]$.
Phương trình $f\left( \sin x \right)=2\sin x+m$ trở thành $f\left( t \right)=2t+m$.
Đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ đi qua điểm $\left( 0; 1 \right)$ và song song với đường thẳng $y=2x$ nên ${{\Delta }_{1}}:y=2x+1$.
Đường thẳng ${{\Delta }_{2}}$ đi qua điểm $\left( 1; -1 \right)$ và song song với đường thẳng $y=2x$ nên ${{\Delta }_{2}}:y=2x-3$.
Để phương trình $f\left( \sin x \right)=2\sin x+m$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0; \pi \right)$ thì phương trình $f\left( t \right)=2t+m$ phải có nghiệm thuộc nửa khoảng $\left( 0; 1 \right]$. Suy ra $-3\le m<1$.
Vì $-3\le m<1$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -3; -2; -1; 0 \right\}$ $\Rightarrow S=\left\{ -3; -2; -1; 0 \right\}$.
Vậy tổng các phần tử của $S$ là $\left( -3 \right)+ \left( -2 \right)+\left( -1 \right)+0=-6$.
Phương trình $f\left( \sin x \right)=2\sin x+m$ trở thành $f\left( t \right)=2t+m$.
Đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ đi qua điểm $\left( 0; 1 \right)$ và song song với đường thẳng $y=2x$ nên ${{\Delta }_{1}}:y=2x+1$.
Đường thẳng ${{\Delta }_{2}}$ đi qua điểm $\left( 1; -1 \right)$ và song song với đường thẳng $y=2x$ nên ${{\Delta }_{2}}:y=2x-3$.
Để phương trình $f\left( \sin x \right)=2\sin x+m$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0; \pi \right)$ thì phương trình $f\left( t \right)=2t+m$ phải có nghiệm thuộc nửa khoảng $\left( 0; 1 \right]$. Suy ra $-3\le m<1$.
Vì $-3\le m<1$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -3; -2; -1; 0 \right\}$ $\Rightarrow S=\left\{ -3; -2; -1; 0 \right\}$.
Vậy tổng các phần tử của $S$ là $\left( -3 \right)+ \left( -2 \right)+\left( -1 \right)+0=-6$.
Đáp án C.