Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như trong hình bên. Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{\left| {f}'(2x-1) \right|} \text{d}x$ bằng
A. $8$.
B. $4$.
C. $2$.
D. $1$.
B. $4$.
C. $2$.
D. $1$.
+ Dựa vào đồ thị hàm số ta có nhận xét ${f}'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left[ -1; 0 \right]$ và ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left[ 0; 1 \right]$.
+ Xét $\int\limits_{0}^{1}{\left| {f}'(2x-1) \right|} \text{d}x$.
Đặt $t=2x-1\Rightarrow \dfrac{1}{2}dt=dx$.
Đổi cận:
+ Khi đó $\int\limits_{0}^{1}{\left| {f}'(2x-1) \right|} \text{d}x=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}{\left| {f}'(t) \right|} \text{d}t=\dfrac{1}{2}\left[ \int\limits_{-1}^{0}{\left| {f}'(t) \right|} \text{d}t+\int\limits_{0}^{1}{\left| {f}'(t) \right|} \text{d}t \right]=\dfrac{1}{2}\left[ -\int\limits_{-1}^{0}{{f}'(t)} \text{d}t+\int\limits_{0}^{1}{{f}'(t)} \text{d}t \right]$
$=\dfrac{1}{2}\left[ -\left. f\left( t \right) \right|_{-1}^{0}+\left. f\left( t \right) \right|_{0}^{1} \right]=\dfrac{1}{2}\left[ -f\left( 0 \right)+f\left( -1 \right)+f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right) \right]=\dfrac{1}{2}\left[ -\left( -2 \right)+1+3-\left( -2 \right) \right]=4$
+ Xét $\int\limits_{0}^{1}{\left| {f}'(2x-1) \right|} \text{d}x$.
Đặt $t=2x-1\Rightarrow \dfrac{1}{2}dt=dx$.
Đổi cận:
+ Khi đó $\int\limits_{0}^{1}{\left| {f}'(2x-1) \right|} \text{d}x=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}{\left| {f}'(t) \right|} \text{d}t=\dfrac{1}{2}\left[ \int\limits_{-1}^{0}{\left| {f}'(t) \right|} \text{d}t+\int\limits_{0}^{1}{\left| {f}'(t) \right|} \text{d}t \right]=\dfrac{1}{2}\left[ -\int\limits_{-1}^{0}{{f}'(t)} \text{d}t+\int\limits_{0}^{1}{{f}'(t)} \text{d}t \right]$
$=\dfrac{1}{2}\left[ -\left. f\left( t \right) \right|_{-1}^{0}+\left. f\left( t \right) \right|_{0}^{1} \right]=\dfrac{1}{2}\left[ -f\left( 0 \right)+f\left( -1 \right)+f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right) \right]=\dfrac{1}{2}\left[ -\left( -2 \right)+1+3-\left( -2 \right) \right]=4$
Đáp án B.