Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Đặt $g\left( x \right)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}-4x+6} \right)-2\left( {{x}^{2}}-4x \right)\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}-12\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}+1$. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 1;4 \right]$ bằng
A. $12-2\sqrt{4}$.
B. $-12-12\sqrt{6}$.
C. $-12-2\sqrt{4}$.
D. $12-12\sqrt{6}$.
A. $12-2\sqrt{4}$.
B. $-12-12\sqrt{6}$.
C. $-12-2\sqrt{4}$.
D. $12-12\sqrt{6}$.
Từ đồ thị suy ra $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3\Rightarrow {f}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4x$
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}$, $x\in \left[ 1;4 \right]\Rightarrow t\in \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right]$.
Ta có: $g\left( x \right)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}-4x+6} \right)-2\left( {{x}^{2}}-4x+6 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}+1$
Suy ra hàm số đã cho trở thành
$h\left( t \right)=f\left( t \right)-2{{t}^{3}}+1\Rightarrow h'\left( t \right)={f}'\left( t \right)-6{{t}^{2}}$
$h\left( t \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)-6{{t}^{2}}=0\Leftrightarrow 4{{t}^{3}}-6{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0\notin \left( \sqrt{2};\sqrt{6} \right) \\
& t=-\dfrac{1}{2}\notin \left( \sqrt{2};\sqrt{6} \right) \\
& t=2\in \left( \sqrt{2};\sqrt{6} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có:
$h\left( \sqrt{2} \right)=f\left( \sqrt{2} \right)-2.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{3}}+1=-2-4\sqrt{2}$ ;
$h\left( 2 \right)=f\left( 2 \right)-2.{{\left( 2 \right)}^{3}}+1=-10$
$h\left( \sqrt{6} \right)=f\left( \sqrt{6} \right)-2.{{\left( \sqrt{6} \right)}^{3}}+1=22-12\sqrt{6}$
Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $h\left( t \right)$ trên đoạn $\left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right]$ lần lượt là $22-12\sqrt{6}$ và $-10$.
Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $g\left( x \right)$ trên $\left[ 1;4 \right]$ là tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $h\left( t \right)$ trên $\left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right]$ và bằng $12-12\sqrt{6}$.
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}$, $x\in \left[ 1;4 \right]\Rightarrow t\in \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right]$.
Ta có: $g\left( x \right)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}-4x+6} \right)-2\left( {{x}^{2}}-4x+6 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}+1$
Suy ra hàm số đã cho trở thành
$h\left( t \right)=f\left( t \right)-2{{t}^{3}}+1\Rightarrow h'\left( t \right)={f}'\left( t \right)-6{{t}^{2}}$
$h\left( t \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)-6{{t}^{2}}=0\Leftrightarrow 4{{t}^{3}}-6{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0\notin \left( \sqrt{2};\sqrt{6} \right) \\
& t=-\dfrac{1}{2}\notin \left( \sqrt{2};\sqrt{6} \right) \\
& t=2\in \left( \sqrt{2};\sqrt{6} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có:
$h\left( \sqrt{2} \right)=f\left( \sqrt{2} \right)-2.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{3}}+1=-2-4\sqrt{2}$ ;
$h\left( 2 \right)=f\left( 2 \right)-2.{{\left( 2 \right)}^{3}}+1=-10$
$h\left( \sqrt{6} \right)=f\left( \sqrt{6} \right)-2.{{\left( \sqrt{6} \right)}^{3}}+1=22-12\sqrt{6}$
Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $h\left( t \right)$ trên đoạn $\left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right]$ lần lượt là $22-12\sqrt{6}$ và $-10$.
Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $g\left( x \right)$ trên $\left[ 1;4 \right]$ là tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $h\left( t \right)$ trên $\left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right]$ và bằng $12-12\sqrt{6}$.
Đáp án D.