Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Đặt $h\left(x\right)=m+f(2022+x)$
Số điểm cực trị của $g\left(x\right)$ sẽ bằng số điểm cực trị của $h\left(x\right)$ cộng với số nghiệm bội lẻ của phương trình $h\left(x\right)=0$ ( Nghiệm bội lẻ này phải khác điểm cực trị của hàm số).
Số điểm CT của $h\left(x\right)$ bằng số điểm CT của $f\left(x\right)$. Nên hàm số $h\left(x\right)$ có 2 điểm cực trị.
Vậy để hàm số $g\left(x\right)$ có 5 điểm cực trị thì pt $h\left(x\right)=0$, phải có 3 nghiệm lẻ phân biệt.
$h\left(x\right)=0\iff f(x+2022)=-m$.
BBT của hàm số $y=f(x+2022):$

Ycbt $-5<-m<3\iff -3<m<5$. Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-2;-1;...;4\}$.
Vậy có 7 giá trị $m$ thỏa mãn ycbt.$$