Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \sin x \right)=3\sin x+m$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\pi \right)$. Tổng các phần tử của $S$ bằng
A. $-6.$
B. $-5.$
C. $-8.$
D. $-10.$
Xét phương trình $f\left( \sin x \right)=3\sin x+m\left( 1 \right).$
Đặt $t=\sin x,$ ta có phương trình $f\left( t \right)=3t+m\left( 2 \right),$ phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $x\in \left( 0;\pi \right)$ khi và chỉ khi phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm $t\in \left( 0;1 \right].$
Số nghiệm của $\left( 2 \right)$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( t \right),t\in \left( 0;1 \right]$ và đường thẳng $y=3t+m.$
Đường thẳng $y=3t+m$ đi qua điểm $A\left( 0;1 \right)$ nên có phương trình $y=3t+1.$
Đường thẳng $y=3t+m$ đi qua điểm $B\left( 1;-1 \right)$ nên có phương trình $y=3t-4.$
Từ đó ta có giá trị $m$ thỏa mãn bài toán là $m\in \left[ -4;1 \right).$ Các giá trị nguyên của $m$ là tập $S=\left\{ -4;-3;-2;-1;0 \right\}$, vậy tổng các phần tử bằng $-10.$
A. $-6.$
B. $-5.$
C. $-8.$
D. $-10.$
Xét phương trình $f\left( \sin x \right)=3\sin x+m\left( 1 \right).$
Đặt $t=\sin x,$ ta có phương trình $f\left( t \right)=3t+m\left( 2 \right),$ phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $x\in \left( 0;\pi \right)$ khi và chỉ khi phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm $t\in \left( 0;1 \right].$
Số nghiệm của $\left( 2 \right)$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( t \right),t\in \left( 0;1 \right]$ và đường thẳng $y=3t+m.$
Đường thẳng $y=3t+m$ đi qua điểm $A\left( 0;1 \right)$ nên có phương trình $y=3t+1.$
Đường thẳng $y=3t+m$ đi qua điểm $B\left( 1;-1 \right)$ nên có phương trình $y=3t-4.$
Từ đó ta có giá trị $m$ thỏa mãn bài toán là $m\in \left[ -4;1 \right).$ Các giá trị nguyên của $m$ là tập $S=\left\{ -4;-3;-2;-1;0 \right\}$, vậy tổng các phần tử bằng $-10.$
Đáp án D.