Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $f'\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Bất phương trình ${{\log...

Phương pháp:
- Đặt $t=f\left( x \right)+m+2,$ sử dụng tính đơn điệu của hàm số tìm $t>{{t}_{0}}.$
- Đưa bất phương trình về dạng $m\le f\left( x \right)\forall x\in \left( -1;4 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ -1;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right).$
- Lập BBT hàm số $f\left( x \right),$ và sử dụng ứng dụng tích phân tìm $\underset{\left[ -1;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right).$
Cách giải:
Ta có
${{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{9}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)+m+2>6$
Đặt $t=f\left( x \right)+m+2,$ bất phương trình trở thành ${{\log }_{5}}t+t>6\left( t>0 \right).$
Xét hàm số $g\left( t \right)={{\log }_{5}}t+t\left( t>0 \right)$ ta có $g'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 5}+1>0\forall t>0,$ do đó hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Lại có $g\left( 5 \right)={{\log }_{5}}5+5=6$ nên ta có $g\left( t \right)>g\left( 5 \right)\Leftrightarrow t>5.$
Khi đó ta có $f\left( x \right)+m+2>5\Leftrightarrow f\left( x \right)>3-m$ có nghiệm với mọi $x\in \left( -1;4 \right)\Leftrightarrow 3-m\le \underset{\left[ -1;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right).$
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ ta có BBT như sau:

Ta cần so sánh $f\left( -1 \right)$ và $f\left( 4 \right).$
Ta có:
$\int\limits_{-1}^{1}{f'\left( x \right)dx}<-\int\limits_{1}^{4}{f'\left( x \right)dx}$
$\Rightarrow f\left( 1 \right)-f\left( -1 \right)<-f\left( 4 \right)+f\left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow f\left( -1 \right)>f\left( 4 \right)$
Do đó $\underset{\left[ -1;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 4 \right).$
Vậy $3-m\le f\left( 4 \right)\Leftrightarrow m\ge 3-f\left( 4 \right).$