Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm của phương trình $f\left(...

Dựa vào bảng biến thiên, ta có
$f\left( {{2}^{3{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+2}} \right)+1=0\Leftrightarrow f\left( {{2}^{3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2}} \right)=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{2}^{3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2}}={{a}_{1}}<-1\left( 1 \right) \\
& {{2}^{3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2}}=2 \\
& {{2}^{3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2}}={{a}_{2}}>5 \\
\end{aligned} \right.$
TH1: ${{2}^{3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2}}=2$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2=1\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 3{{x}^{3}}+2x+1 \right)=0\Leftrightarrow x=1$
TH2: ${{2}^{3{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+2}}={{a}_{2}}$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2={{\log }_{2}}{{a}_{2}}$
Xét hàm số $g\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2,$ khảo sát hàm số, ta được bảng biến thiên sau:
Do ${{\log }_{2}}{{a}_{2}}>{{\log }_{2}}5>1$ nên $3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2={{\log }_{2}}{{a}_{2}}$ có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Vậy phương trình $f\left( {{2}^{3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2}} \right)+1=0$ có 3 nghiệm phân biệt.