Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho $\underset{\left[ -8;\dfrac{8}{3} \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=5.$ Xét hàm số $g\left( x \right)=2f\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x+1 \right)+m.$ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $\underset{\left[ -2;4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=-20.$
A. $-30$
B. 30
C. $-10$
D. $-25$
A. $-30$
B. 30
C. $-10$
D. $-25$
Cách giải:
Ta có $g\left( x \right)=2f\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x+1 \right)+m$
Đặt $t=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x+1;x\in \left[ -2;4 \right]$ ta có: $t'={{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.\in \left[ -2;4 \right].$
Bảng biến thiên:
Dựa bảng biến thiên ta có $t\in \left[ -8;\dfrac{8}{3} \right].$
Bài toán trở thành tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $g\left( t \right)=2f\left( t \right)+m;t\in \left[ -8;\dfrac{8}{3} \right]$ có giá trị lớn nhất trên $\left[ -8;\dfrac{8}{3} \right]$ bằng $-20.$
Vì $\underset{\left[ -8;\dfrac{8}{3} \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=5\Rightarrow \underset{\left[ -2;4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=2.5+m=-20\Leftrightarrow m=-30.$
Ta có $g\left( x \right)=2f\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x+1 \right)+m$
Đặt $t=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x+1;x\in \left[ -2;4 \right]$ ta có: $t'={{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.\in \left[ -2;4 \right].$
Bảng biến thiên:
Dựa bảng biến thiên ta có $t\in \left[ -8;\dfrac{8}{3} \right].$
Bài toán trở thành tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $g\left( t \right)=2f\left( t \right)+m;t\in \left[ -8;\dfrac{8}{3} \right]$ có giá trị lớn nhất trên $\left[ -8;\dfrac{8}{3} \right]$ bằng $-20.$
Vì $\underset{\left[ -8;\dfrac{8}{3} \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=5\Rightarrow \underset{\left[ -2;4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=2.5+m=-20\Leftrightarrow m=-30.$
Đáp án A.