Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ...

Đặt $1-t={\displaystyle \frac{1-x}{x+2}}\iff x={\displaystyle \frac{2t-1}{2-t}},\mathrm{\forall }t\ne 2$, khi đó phương trình $f\left({\displaystyle \frac{1-x}{x+2}}\right)-{\displaystyle \frac{2x+1}{x+2}}+m=0$ trở thành $f(1-t)=t-m(\ast )$.
Nhận thấy với mỗi nghiệm $t\ne 2$ của phương trình $(\ast )$ ta có được một nghiệm $x$. Do đó để phương trình $f\left({\displaystyle \frac{1-x}{x+2}}\right)-{\displaystyle \frac{2x+1}{x+2}}+m=0$ có đúng $4$ nghiệm thì phương trình $(\ast )$ có đúng $4$ nghiệm $t\ne 2$.
Ta thấy đồ thị hàm số $y=t-m$ là một đường thẳng song song với đường thẳng $y=t$ cắt trục tung tại điểm $(0;-m)$.

Từ đồ thị ta có phương trình $(\ast )$ có $4$ nghiệm phân biệt khi $-2\le m\le 2$. Mặt khác $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2;-1;0;1;2\}$ $\Rightarrow$ có $5$ giá trị nguyên của tham số $m$.