Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y=f\left( 1-x \right)$ được cho trong hình vẽ có đúng $3$ điểm cực trị là $A\left( -1;1 \right)$, $B\left( 0;-2 \right)$, $C\left( 1;3 \right)$.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \dfrac{1-x}{x+2} \right)-\dfrac{2x+1}{x+2}+m=0$ có đúng $4$ nghiệm?
A. $3$.
B. $4$.
C. $2$.
D. $5$.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \dfrac{1-x}{x+2} \right)-\dfrac{2x+1}{x+2}+m=0$ có đúng $4$ nghiệm?
A. $3$.
B. $4$.
C. $2$.
D. $5$.
Đặt $1-t=\dfrac{1-x}{x+2}\Leftrightarrow x=\dfrac{2t-1}{2-t},\forall t\ne 2$, khi đó phương trình $f\left( \dfrac{1-x}{x+2} \right)-\dfrac{2x+1}{x+2}+m=0$ trở thành $f\left( 1-t \right)=t-m\text{ }\left( * \right)$.
Nhận thấy với mỗi nghiệm $t\ne 2$ của phương trình $\left( * \right)$ ta có được một nghiệm $x$. Do đó để phương trình $f\left( \dfrac{1-x}{x+2} \right)-\dfrac{2x+1}{x+2}+m=0$ có đúng $4$ nghiệm thì phương trình $\left( * \right)$ có đúng $4$ nghiệm $t\ne 2$.
Ta thấy đồ thị hàm số $y=t-m$ là một đường thẳng song song với đường thẳng $y=t$ cắt trục tung tại điểm $\left( 0;-m \right)$.
Từ đồ thị ta có phương trình $\left( * \right)$ có $4$ nghiệm phân biệt khi $-2\le m\le 2$. Mặt khác $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$ $\Rightarrow $ có $5$ giá trị nguyên của tham số $m$.
Nhận thấy với mỗi nghiệm $t\ne 2$ của phương trình $\left( * \right)$ ta có được một nghiệm $x$. Do đó để phương trình $f\left( \dfrac{1-x}{x+2} \right)-\dfrac{2x+1}{x+2}+m=0$ có đúng $4$ nghiệm thì phương trình $\left( * \right)$ có đúng $4$ nghiệm $t\ne 2$.
Ta thấy đồ thị hàm số $y=t-m$ là một đường thẳng song song với đường thẳng $y=t$ cắt trục tung tại điểm $\left( 0;-m \right)$.
Từ đồ thị ta có phương trình $\left( * \right)$ có $4$ nghiệm phân biệt khi $-2\le m\le 2$. Mặt khác $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}$ $\Rightarrow $ có $5$ giá trị nguyên của tham số $m$.
Đáp án D.