Cho hàm số ${y=f\left( x \right)}$ liên tục trên ${\mathbb{R}}$ có...

Ta có phương trình $\dfrac{{{m}^{3}}+4m}{8\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}}={{f}^{2}}\left( x \right)+2$ $\left( * \right)$ Đặt $t=\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1},t\ge 1$, khi đó ta có phương trình
$\dfrac{{{m}^{3}}+4m}{8t}={{t}^{2}}+1\Leftrightarrow 8{{t}^{3}}+8t={{m}^{3}}+4m\left( ** \right)$
Xét hàm số $h\left( u \right)={{\text{u}}^{3}}+4u$ trên $\left[ 1;+\infty \right)$ có $h'\left( u \right)=3{{u}^{2}}+4>0$, suy ra hàm số $h\left( u \right)$ đồng biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$
Từ $\left( ** \right)$ suy ra $f\left( 2t \right)=f\left( m \right)\Rightarrow 2t-m\Rightarrow t=\dfrac{m}{2}\Rightarrow \sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}=\dfrac{m}{2}\Leftrightarrow {{f}^{2}}x=\dfrac{{{m}^{2}}-4}{4}$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)=\pm \dfrac{\sqrt{{{m}^{2}}-4}}{2}$ ( với $m\ge 2$ )
Từ đồ thị hàm số suy ra để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -2;6 \right]$
$0<\dfrac{\sqrt{{{m}^{2}}-4}}{2}\le 2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{{{m}^{2}}-4} \\
& m\ne \pm 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-20\le 0 \\
& m\ne \pm 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2\sqrt{5}\le m\le 2\sqrt{5} \\
& m\ne \pm 2 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp với $m\ge 2$ nên \(2 Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 3;4 \right\}.$