Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ.
Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để phương trình $\dfrac{{{m}^{3}}+4m}{8\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}}={{f}^{2}}\left( x \right)+2$ có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -2;6 \right]?$
A. 1
B. 2
C. 4
D. 3
Đặt $u=\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}\ge 1$ ta có phương trình đã cho được viết lại
$\dfrac{{{m}^{3}}+4m}{8u}={{u}^{2}}+1\Leftrightarrow {{m}^{3}}+4m={{\left( 2u \right)}^{3}}+u.\left( 2u \right)\text{ }\left( * \right).$
Xét hàm $g\left( t \right)={{t}^{3}}+4t$ có $g'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+4>0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên hàm số $g\left( t \right)={{t}^{3}}+4t$ tăng trên $\mathbb{R}$ suy ra phương trình (*) cho ta $m=2u$ hay $m=2\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}\Leftrightarrow f\left( x \right)=\pm \sqrt{\dfrac{{{m}^{2}}}{4}-1},m\ge 2.\left( ** \right)$
Từ yêu cầu bài toán ta cần có (**) có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -2;6 \right].$
Ta thấy phương trình $f\left( x \right)=-d,\left( d>0 \right)$ nếu có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -2;6 \right]$ thì chỉ có một nghiệm do đó (**) có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -2;6 \right]$ khi và chỉ khi $f\left( x \right)=\sqrt{\dfrac{{{m}^{2}}}{4}-1},m\ge 2$ có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -2;6 \right]$ hay ta cần có $\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{\dfrac{{{m}^{2}}}{4}-1}>0 \\
& m\ge 2 \\
& \sqrt{\dfrac{{{m}^{2}}}{4}-1}\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>2 \\
& {{m}^{2}}\le 20 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 2\sqrt{5}, $ xét $ m\in \mathbb{Z} $ nên chọn $ m=3,m=4.$
Vậy có 2 giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình $\dfrac{{{m}^{3}}+4m}{8\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}}={{f}^{2}}\left( x \right)+2$ có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -2;6 \right].$
Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để phương trình $\dfrac{{{m}^{3}}+4m}{8\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}}={{f}^{2}}\left( x \right)+2$ có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -2;6 \right]?$
A. 1
B. 2
C. 4
D. 3
Đặt $u=\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}\ge 1$ ta có phương trình đã cho được viết lại
$\dfrac{{{m}^{3}}+4m}{8u}={{u}^{2}}+1\Leftrightarrow {{m}^{3}}+4m={{\left( 2u \right)}^{3}}+u.\left( 2u \right)\text{ }\left( * \right).$
Xét hàm $g\left( t \right)={{t}^{3}}+4t$ có $g'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+4>0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên hàm số $g\left( t \right)={{t}^{3}}+4t$ tăng trên $\mathbb{R}$ suy ra phương trình (*) cho ta $m=2u$ hay $m=2\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}\Leftrightarrow f\left( x \right)=\pm \sqrt{\dfrac{{{m}^{2}}}{4}-1},m\ge 2.\left( ** \right)$
Từ yêu cầu bài toán ta cần có (**) có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -2;6 \right].$
Ta thấy phương trình $f\left( x \right)=-d,\left( d>0 \right)$ nếu có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -2;6 \right]$ thì chỉ có một nghiệm do đó (**) có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -2;6 \right]$ khi và chỉ khi $f\left( x \right)=\sqrt{\dfrac{{{m}^{2}}}{4}-1},m\ge 2$ có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -2;6 \right]$ hay ta cần có $\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{\dfrac{{{m}^{2}}}{4}-1}>0 \\
& m\ge 2 \\
& \sqrt{\dfrac{{{m}^{2}}}{4}-1}\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>2 \\
& {{m}^{2}}\le 20 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 2\sqrt{5}, $ xét $ m\in \mathbb{Z} $ nên chọn $ m=3,m=4.$
Vậy có 2 giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình $\dfrac{{{m}^{3}}+4m}{8\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}}={{f}^{2}}\left( x \right)+2$ có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -2;6 \right].$
Đáp án B.