Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ cho như hình vẽ.
Hàm số $g\left( x \right)=2f\left( \left| x-1 \right| \right)-{{x}^{2}}+2x+2020$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $\left( -2;0 \right)$.
B. $\left( -3; 1 \right)$.
C. $\left( 1; 3 \right)$.
D. $\left( 0; 1 \right)$.
Hàm số $g\left( x \right)=2f\left( \left| x-1 \right| \right)-{{x}^{2}}+2x+2020$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $\left( -2;0 \right)$.
B. $\left( -3; 1 \right)$.
C. $\left( 1; 3 \right)$.
D. $\left( 0; 1 \right)$.
Ta có: $g\left( x \right)=2f\left( \left| x-1 \right| \right)-{{x}^{2}}+2x+2020\Leftrightarrow g\left( x \right)=2f\left( \left| x-1 \right| \right)-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+2021$
Xét hàm số $k\left( x-1 \right)=2f\left( x-1 \right)-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+2021$.
Đặt $t=x-1$
Xét hàm số: $h\left( t \right)=2f\left( t \right)-{{t}^{2}}+2021$ $\Rightarrow {h}'\left( t \right)=2{f}'\left( t \right)-2t$.
Kẻ đường $y=-x$ như hình vẽ.
Khi đó: ${h}'\left( t \right)>0\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)-t>0\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)>t$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t<-1 \\
& 1<t<3 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó: ${k}'\left( x-1 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-1<-1 \\
& 1<x-1<3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x<0 \\
& 2<x<4 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $k\left( x-1 \right)=2f\left( x-1 \right)-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+2021$.
Khi đó, ta có bảng biến thiên của $g\left( x \right)=2f\left( \left| x-1 \right| \right)-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+2021$ bằng cách lấy đối xứng qua đường thẳng $x=1$ như sau:
Xét hàm số $k\left( x-1 \right)=2f\left( x-1 \right)-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+2021$.
Đặt $t=x-1$
Xét hàm số: $h\left( t \right)=2f\left( t \right)-{{t}^{2}}+2021$ $\Rightarrow {h}'\left( t \right)=2{f}'\left( t \right)-2t$.
Kẻ đường $y=-x$ như hình vẽ.
Khi đó: ${h}'\left( t \right)>0\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)-t>0\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)>t$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t<-1 \\
& 1<t<3 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó: ${k}'\left( x-1 \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x-1<-1 \\
& 1<x-1<3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x<0 \\
& 2<x<4 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $k\left( x-1 \right)=2f\left( x-1 \right)-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+2021$.
Khi đó, ta có bảng biến thiên của $g\left( x \right)=2f\left( \left| x-1 \right| \right)-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+2021$ bằng cách lấy đối xứng qua đường thẳng $x=1$ như sau:
Đáp án D.