Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f\left( 4x \right)=f\left( x \right)+4{{x}^{3}}+2x$ và $f\left( 0 \right)=2$. Tính $\int\limits_{0}^{1}{f}\left( x \right)dx$
A. $\dfrac{148}{63}$
B. $\dfrac{146}{63}$
C. $\dfrac{149}{63}$
D. $\dfrac{145}{63}$
A. $\dfrac{148}{63}$
B. $\dfrac{146}{63}$
C. $\dfrac{149}{63}$
D. $\dfrac{145}{63}$
Phương pháp:
Nhận xét biểu thức đã cho rồi dung phương pháp đồng nhất hệ số.
Cách giải:
Ta có $f\left( 4x \right)=f\left( x \right)+4{{x}^{3}}+2x$
Suy ra $f\left( 4x \right);f\left( x \right)$ là hàm số bậc 3.
Đặt $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow f(4x)=64a{{x}^{3}}+16b{{x}^{2}}+4cx+a$
$\begin{array}{*{35}{l}}
f(4x)-f(x)=4{{x}^{3}}+2x \$/I]
\Leftrightarrow 63a{{x}^{3}}+15b{{x}^{2}}+3cx=4{{x}^{3}}+2x \$/I]
\end{array}$
Khi đó $f(x)=\dfrac{4}{63}{{x}^{3}}+\dfrac{2}{3}x+2\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f}(x)dx=\dfrac{{{x}^{4}}}{63}+\dfrac{{{x}^{2}}}{3}+\left. 2x \right|_{0}^{1}=\dfrac{148}{63}$
Nhận xét biểu thức đã cho rồi dung phương pháp đồng nhất hệ số.
Cách giải:
Ta có $f\left( 4x \right)=f\left( x \right)+4{{x}^{3}}+2x$
Suy ra $f\left( 4x \right);f\left( x \right)$ là hàm số bậc 3.
Đặt $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow f(4x)=64a{{x}^{3}}+16b{{x}^{2}}+4cx+a$
$\begin{array}{*{35}{l}}
f(4x)-f(x)=4{{x}^{3}}+2x \$/I]
\Leftrightarrow 63a{{x}^{3}}+15b{{x}^{2}}+3cx=4{{x}^{3}}+2x \$/I]
\end{array}$
Khi đó $f(x)=\dfrac{4}{63}{{x}^{3}}+\dfrac{2}{3}x+2\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f}(x)dx=\dfrac{{{x}^{4}}}{63}+\dfrac{{{x}^{2}}}{3}+\left. 2x \right|_{0}^{1}=\dfrac{148}{63}$
Đáp án A.