Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $f\left( 2 \right)=4.$ Biết hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( 2x-4 \right)-2{{x}^{2}}+8x-10 \right|$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -\infty ;1 \right).$
B. $\left( 1;3 \right).$
C. $\left( 3;4 \right).$
D. $\left( 4;+\infty \right).$
A. $\left( -\infty ;1 \right).$
B. $\left( 1;3 \right).$
C. $\left( 3;4 \right).$
D. $\left( 4;+\infty \right).$
Xét hàm số $h(x)=f\left( 2x-4 \right)-2{{x}^{2}}+8x-10$
Ta có ${h}'\left( x \right)=2{f}'\left( 2x-4 \right)-4x+8=0=2\left( {f}'\left( 2x-4 \right)-\left( 2x-4 \right) \right)=0$ $\left( 3 \right)$
Đặt $t=2x-4$
Khi đó $\left( 3 \right)\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)=t\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-2 \\
& t=2 \\
& t=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên của hàm số là
Dễ thấy ${h}'\left( 2 \right)=2{f}'\left( 0 \right)>0$
$h\left( 3 \right)=f\left( 2 \right)-18+24-10=0$
Từ đó ta có hàm số đồng biến trên $\left( 3;4 \right)$.
Ta có ${h}'\left( x \right)=2{f}'\left( 2x-4 \right)-4x+8=0=2\left( {f}'\left( 2x-4 \right)-\left( 2x-4 \right) \right)=0$ $\left( 3 \right)$
Đặt $t=2x-4$
Khi đó $\left( 3 \right)\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)=t\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-2 \\
& t=2 \\
& t=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$
$h\left( 3 \right)=f\left( 2 \right)-18+24-10=0$
Từ đó ta có hàm số đồng biến trên $\left( 3;4 \right)$.
Đáp án C.