Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( 0;+\infty \right)$ thỏa mãn $2xf\prime \left( x \right)+f\left( x \right)=4x\sqrt{x}$. Biết $f\left( 1 \right)=1$. Tính $f\left( 4 \right)$.
A. 4.
B. 8.
C. 6.
D. 16.
A. 4.
B. 8.
C. 6.
D. 16.
Vì hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên
$2xf\prime \left( x \right)+f\left( x \right)=4x\sqrt{x}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\left[ 2xf\prime \left( x \right)+f\left( x \right) \right]=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.4x\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}{f}'\left( x \right)+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}f\left( x \right)=2x\Leftrightarrow {{\left[ \sqrt{x}f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=2x\Leftrightarrow \sqrt{x}f\left( x \right)={{x}^{2}}+C$.
Với $x=1$, ta có $\sqrt{1}f\left( 1 \right)={{1}^{2}}+C\Rightarrow C=0$.
Suy ra $\sqrt{x}f\left( x \right)={{x}^{2}}$
Với $x=4$, ta có $\sqrt{4}f\left( 4 \right)={{4}^{2}}\Leftrightarrow f\left( 4 \right)=8$.
$2xf\prime \left( x \right)+f\left( x \right)=4x\sqrt{x}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\left[ 2xf\prime \left( x \right)+f\left( x \right) \right]=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.4x\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}{f}'\left( x \right)+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}f\left( x \right)=2x\Leftrightarrow {{\left[ \sqrt{x}f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=2x\Leftrightarrow \sqrt{x}f\left( x \right)={{x}^{2}}+C$.
Với $x=1$, ta có $\sqrt{1}f\left( 1 \right)={{1}^{2}}+C\Rightarrow C=0$.
Suy ra $\sqrt{x}f\left( x \right)={{x}^{2}}$
Với $x=4$, ta có $\sqrt{4}f\left( 4 \right)={{4}^{2}}\Leftrightarrow f\left( 4 \right)=8$.
Đáp án B.