Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ -1;4...

Xét ${{g}_{1}}\left( x \right)=f\left( x-2 \right)+{{m}^{2}}-5$ có đồ thị được xác định từ phép tịnh tiến đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ sang phải $2$ đơn vị, lên trên ${{m}^{2}}-5$ đơn vị nếu ${{m}^{2}}-5>0$ ; xuống dưới ${{m}^{2}}-5$ đơn vị nếu ${{m}^{2}}-5<0$. Đồ thị của $y={{g}_{1}}\left( x \right)$ (khi ${{m}^{2}}-5=0$ ) là:

Đồ thị của $y=g\left( x \right)=\left| {{g}_{1}}\left( x \right) \right|$ (khi ${{m}^{2}}-5=0$ ) là:

Từ đồ thị ta có $\underset{\left[ 1;6 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\max \left\{ \left| 3+{{m}^{2}}-5 \right|,\left| -2+{{m}^{2}}-5 \right| \right\}$.
Ta cần tìm $m\in \left[ -2020;2020 \right]\cap \mathbb{Z}$ để $\left[ \begin{aligned}
& \left| 3+{{m}^{2}}-5 \right|\ge 6 \\
& \left| -2+{{m}^{2}}-5 \right|\ge 6 \\
\end{aligned} \right.$.
Có $\left[ \begin{aligned}
& \left| 3+{{m}^{2}}-5 \right|\ge 6 \\
& \left| -2+{{m}^{2}}-5 \right|\ge 6 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-2\ge 6 \\
& {{m}^{2}}-2\le -6 \\
& {{m}^{2}}-7\ge 6 \\
& {{m}^{2}}-7\le -6 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}\ge 8 \\
& {{m}^{2}}\le -4 \\
& {{m}^{2}}\ge 13 \\
& {{m}^{2}}\le 1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}\ge 8 \\
& {{m}^{2}}\le 1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;-2\sqrt{2} \right]\cup \left[ -1;1 \right]\cup \left[ 2\sqrt{2};+\infty \right)$.
Kết hợp các điều kiện ta có $m\in \left\{ \pm 2020;\pm 2019;...\pm 3;\pm 1;0 \right\}$. Vậy có $4039$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.