Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn [ 1;3 ] và có...

Phương pháp:
Đặt ẩn phụ rồi xét tính đơn điệu của hàm số mới, suy ra giá trị của m.
Cách giải:
Ta có: $f\left( x-1 \right)=\dfrac{m}{{{x}^{2}}-6x+12}~\Leftrightarrow f\left( x-1 \right).\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)=m$.
Đặt $x-1=t\Rightarrow t\in \left[ 1;3 \right]$.
Khi đó ta có $m=f\left( t \right)\left( {{t}^{2}}-4t+7 \right)=g\left( t \right)$.
$g'\left( t \right)=f'\left( t \right)\left( {{t}^{2}}-4t+7 \right)+\left( 2t-4 \right).f\left( t \right)$
$+)1\le t\le 2\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f'\left( t \right)>0 \\
& {{t}^{2}}-4t+7>0 \\
& f\left( t \right)<0 \\
& 2t-4\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y'\ge 0$
$+)2<t\le 3\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f'\left( t \right)<0 \\
& {{t}^{2}}-4t+7>0 \\
& f\left( t \right)<0 \\
& 2t-4>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y'<0$

Ta có: m= $f\left( t \right)\left( {{t}^{2}}-4t+7 \right)=g\left( t \right)$
$g\left( 1 \right)=4f\left( 1 \right)=-24;g\left( 2 \right)=3f\left( 2 \right)=-3,g\left( 3 \right)=4f\left( 3 \right)=-12$.
Ta có bảng biến thiên hàm số y= g( x) như sau

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình $f\left( x-1 \right)=\dfrac{m}{{{x}^{2}}-6x+12}~$ có 2 nghiệm trên đoạn [ 2;4 ] khi:
$-12\le m<-3;m\in \mathbb{Z}~\Rightarrow m\in \left\{ -12;-11;...;-4 \right\}\Rightarrow S=-72$.