Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)~=\left( 1+x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+...\dfrac{{{x}^{2020}}}{2020!}+\dfrac{{{x}^{2021}}}{2021!} \right)\left( 1-x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+...+\dfrac{{{x}^{2020}}}{2020!}-\dfrac{{{x}^{2021}}}{2021!} \right)$
Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a\in \left( 0;3 \right]$
B. $a\in \left( -\infty ;-1 \right]$
C. $a\in \left( 3;+\infty \right)$
D. $a\in \left[ -~1;0 \right)~$
Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a\in \left( 0;3 \right]$
B. $a\in \left( -\infty ;-1 \right]$
C. $a\in \left( 3;+\infty \right)$
D. $a\in \left[ -~1;0 \right)~$
Đặt $a=1+x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\ldots +\dfrac{{{x}^{2020}}}{2020!},b=1-x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+\ldots +\dfrac{{{x}^{2020}}}{2020!}$
Ta có ${{f}^{\prime }}(x)=\left( 1+x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+\ldots +\dfrac{{{x}^{2020}}}{2020!} \right)\left( 1-x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+\ldots +\dfrac{{{x}^{2020}}}{2020!}-\dfrac{{{x}^{2021}}}{2021!} \right)$
$+\left( 1+x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+\ldots +\dfrac{{{x}^{2020}}}{2020!}+\dfrac{{{x}^{2021}}}{2021!} \right)\left( -1+x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}-\ldots -\dfrac{{{x}^{2020}}}{2020!} \right)$
$\Rightarrow {{f}^{\prime }}(x)=a\cdot \left( b-\dfrac{{{x}^{2021}}}{2021!} \right)-\left( a+\dfrac{{{x}^{2021}}}{2021!} \right)b$
$=ab-a\dfrac{{{x}^{2021}}}{2021!}-ab-b\dfrac{{{x}^{2021}}}{2021!}$
$=-\dfrac{{{x}^{2021}}}{2021!}(a+b)$
$\Rightarrow {{f}^{\prime }}(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
a+b=0\Leftrightarrow 2\left( 1+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{4}}}{4!}+\ldots +\dfrac{{{x}^{2020}}}{2020!} \right)=0(*) \\
\end{array} \right.$
Dễ thấy phương trình (8) vô nghiệm do $1+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{4}}}{4!}+\ldots +\dfrac{{{x}^{2020}}}{2020!}\ge 1>0\forall x$
Do đó phương trình ${{f}^{\prime }}(x)=0$ có nghiệm duy nhất $\text{x=0}$
Ta có BBT của hàm số $\text{f(x)}$ trên $\!\![\!\!\text{ -1 ; 2 }\!\!]\!\!$ như sau:
Tử BBT ta thấy ${{\min }_{[-1;2]}}f(x)=f(0)=1$
Vậy $a=1\in (0;3]$
Ta có ${{f}^{\prime }}(x)=\left( 1+x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+\ldots +\dfrac{{{x}^{2020}}}{2020!} \right)\left( 1-x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+\ldots +\dfrac{{{x}^{2020}}}{2020!}-\dfrac{{{x}^{2021}}}{2021!} \right)$
$+\left( 1+x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+\ldots +\dfrac{{{x}^{2020}}}{2020!}+\dfrac{{{x}^{2021}}}{2021!} \right)\left( -1+x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}-\ldots -\dfrac{{{x}^{2020}}}{2020!} \right)$
$\Rightarrow {{f}^{\prime }}(x)=a\cdot \left( b-\dfrac{{{x}^{2021}}}{2021!} \right)-\left( a+\dfrac{{{x}^{2021}}}{2021!} \right)b$
$=ab-a\dfrac{{{x}^{2021}}}{2021!}-ab-b\dfrac{{{x}^{2021}}}{2021!}$
$=-\dfrac{{{x}^{2021}}}{2021!}(a+b)$
$\Rightarrow {{f}^{\prime }}(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
a+b=0\Leftrightarrow 2\left( 1+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{4}}}{4!}+\ldots +\dfrac{{{x}^{2020}}}{2020!} \right)=0(*) \\
\end{array} \right.$
Dễ thấy phương trình (8) vô nghiệm do $1+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{4}}}{4!}+\ldots +\dfrac{{{x}^{2020}}}{2020!}\ge 1>0\forall x$
Do đó phương trình ${{f}^{\prime }}(x)=0$ có nghiệm duy nhất $\text{x=0}$
Ta có BBT của hàm số $\text{f(x)}$ trên $\!\![\!\!\text{ -1 ; 2 }\!\!]\!\!$ như sau:
Tử BBT ta thấy ${{\min }_{[-1;2]}}f(x)=f(0)=1$
Vậy $a=1\in (0;3]$
Đáp án A.