Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\left( m+1 \right){{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+\left( 6-m \right)x+3$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng 5 điểm cực trị?
A. 5.
B. 6.
C. 3.
D. 2.
A. 5.
B. 6.
C. 3.
D. 2.
Ta có ${y}'=3\left( m+1 \right){{x}^{2}}-10x+6-m$
${y}'=0\Leftrightarrow 3\left( m+1 \right){{x}^{2}}-10x+6-m=0$ $\left( 1 \right)$
Ta có hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Do đó hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $y=f\left( x \right)$ có $2$ cực trị dương.
$\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có hai nghiệm dương phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& S>0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
25-3\left( m+1 \right)\left( 6-m \right)>0 \\
\dfrac{10}{3\left( m+1 \right)}>0 \\
\dfrac{6-m}{3\left( m+1 \right)}>0 \\
\end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\dfrac{15-\sqrt{141}}{6}\vee m>\dfrac{15+\sqrt{141}}{6} \\
& m>-1 \\
& -1<m<6 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -1<m<\dfrac{15-\sqrt{141}}{6} \\
& \dfrac{15+\sqrt{141}}{6}<m<6 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy: Có $2$ giá trị nguyên cần tìm là $m\in \left\{ 0;5 \right\}$
${y}'=0\Leftrightarrow 3\left( m+1 \right){{x}^{2}}-10x+6-m=0$ $\left( 1 \right)$
Ta có hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Do đó hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $y=f\left( x \right)$ có $2$ cực trị dương.
$\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có hai nghiệm dương phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& S>0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
25-3\left( m+1 \right)\left( 6-m \right)>0 \\
\dfrac{10}{3\left( m+1 \right)}>0 \\
\dfrac{6-m}{3\left( m+1 \right)}>0 \\
\end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\dfrac{15-\sqrt{141}}{6}\vee m>\dfrac{15+\sqrt{141}}{6} \\
& m>-1 \\
& -1<m<6 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -1<m<\dfrac{15-\sqrt{141}}{6} \\
& \dfrac{15+\sqrt{141}}{6}<m<6 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy: Có $2$ giá trị nguyên cần tìm là $m\in \left\{ 0;5 \right\}$
Đáp án D.