Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm đa thức và có đồ thị $f\left( x \right),{f}'\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{1}{5}{{x}^{5}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}+\left( 3+{{m}^{2}} \right)\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\left( m+1 \right){{x}^{2}}+4x+2022$ trên đoạn $\left[ -2;3 \right]$ không vượt quá $4044$.
A. $32$.
B. $30$.
C. $31$.
D. $29$.
B. $30$.
C. $31$.
D. $29$.
Ta có
$\begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+\left( 3+m \right){{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+4 \\
& ={f}'\left( x \right)+\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x+3 \right)+{{\left( mx-1 \right)}^{2}} \\
\end{aligned}$
Xét hàm $h\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x+3$ trên $\left[ -2 ; 3 \right]$.
${h}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+6x-2=\left( 2x-1 \right)\left( 2{{x}^{2}}-2x+2 \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$.
Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} h\left( x \right)=+\infty $ và ${h}'\left( x \right)$ đổi dấu qua $x=\dfrac{1}{2}$ nên $\underset{\left[ -2 ; 3 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=h\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{41}{16}$.
Do vậy, ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x+3 \right)+{{\left( mx-1 \right)}^{2}}\ge \dfrac{-1633}{750}+\dfrac{41}{16}=\dfrac{2311}{6000}>0 , \forall x\in \left[ -2;3 \right]$.
Suy ra, hàm $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ -2;3 \right]$ $\Rightarrow \underset{\left[ -2;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 3 \right)=\dfrac{1687}{2000}+\dfrac{381}{10}+2022+9{{m}^{2}}-9m\le 4044\Leftrightarrow -14,35...\le m\le 15,35...$
Vậy $m\in \left\{ -14;-13;...;14;15 \right\}$. Có $30$ số nguyên.
$\begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+\left( 3+m \right){{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+4 \\
& ={f}'\left( x \right)+\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x+3 \right)+{{\left( mx-1 \right)}^{2}} \\
\end{aligned}$
Xét hàm $h\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x+3$ trên $\left[ -2 ; 3 \right]$.
${h}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+6x-2=\left( 2x-1 \right)\left( 2{{x}^{2}}-2x+2 \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$.
Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} h\left( x \right)=+\infty $ và ${h}'\left( x \right)$ đổi dấu qua $x=\dfrac{1}{2}$ nên $\underset{\left[ -2 ; 3 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=h\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{41}{16}$.
Do vậy, ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x+3 \right)+{{\left( mx-1 \right)}^{2}}\ge \dfrac{-1633}{750}+\dfrac{41}{16}=\dfrac{2311}{6000}>0 , \forall x\in \left[ -2;3 \right]$.
Suy ra, hàm $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ -2;3 \right]$ $\Rightarrow \underset{\left[ -2;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 3 \right)=\dfrac{1687}{2000}+\dfrac{381}{10}+2022+9{{m}^{2}}-9m\le 4044\Leftrightarrow -14,35...\le m\le 15,35...$
Vậy $m\in \left\{ -14;-13;...;14;15 \right\}$. Có $30$ số nguyên.
Đáp án B.