Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f\left( x \right)$, $y={f}'\left( x \right)$ có diện tích bằng
A. $\dfrac{127}{40}$.
B. $\dfrac{107}{5}$.
C. $\dfrac{87}{40}$.
D. $\dfrac{127}{10}$.
A. $\dfrac{127}{40}$.
B. $\dfrac{107}{5}$.
C. $\dfrac{87}{40}$.
D. $\dfrac{127}{10}$.
Ta thấy đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm có hoành độ bằng $-2$ và $1$ nên hàm số có dạng $f\left( x \right)=a{{\left( x+2 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}$.
Mà đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đi qua điểm $A\left( 0;1 \right)\Rightarrow 4a=1\Rightarrow a=\dfrac{1}{4}\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}{{\left( x+2 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( 2x+1 \right)$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $y=f\left( x \right)$ và $y={f}'\left( x \right)$ :
$\dfrac{1}{4}{{\left( x+2 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( 2x+1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=1 \\
& x=-1 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f\left( x \right)$, $y={f}'\left( x \right)$ có diện tích là $S=\int\limits_{-2}^{4}{\left| \dfrac{1}{4}{{\left( x+2 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}-\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( 2x+1 \right) \right|}=$ $\dfrac{107}{5}$.
Mà đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ đi qua điểm $A\left( 0;1 \right)\Rightarrow 4a=1\Rightarrow a=\dfrac{1}{4}\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}{{\left( x+2 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( 2x+1 \right)$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $y=f\left( x \right)$ và $y={f}'\left( x \right)$ :
$\dfrac{1}{4}{{\left( x+2 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}=\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( 2x+1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=1 \\
& x=-1 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f\left( x \right)$, $y={f}'\left( x \right)$ có diện tích là $S=\int\limits_{-2}^{4}{\left| \dfrac{1}{4}{{\left( x+2 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}-\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( 2x+1 \right) \right|}=$ $\dfrac{107}{5}$.
Đáp án B.