Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ là hàm đa thức bậc bốn và có đồ...

Ta thấy đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm có hoành độ bằng $-2$ và $1$ nên hàm số có dạng $f\left(x\right)=a{(x+2)}^2{(x-1)}^2$.
Mà đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ đi qua điểm $A(0;1)\Rightarrow 4a=1\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}{(x+2)}^2{(x-1)}^2$
$\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x+2)(x-1)(2x+1)$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $y=f\left(x\right)$ và $y=f^{\prime }\left(x\right)$ :
${\displaystyle \frac{1}{4}}{(x+2)}^2{(x-1)}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}(x+2)(x-1)(2x+1)\iff [\begin{array}{rl}& x=-2\\ & x=1\\ & x=-1\\ & x=4\end{array}$
$\Rightarrow$ Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f\left(x\right)$, $y=f^{\prime }\left(x\right)$ có diện tích là $S=\underset{-2}{\overset{4}{\int }}|{\displaystyle \frac{1}{4}}{(x+2)}^2{(x-1)}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+2)(x-1)(2x+1)|=$ ${\displaystyle \frac{107}{5}}$.