Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị...

$g\left( x \right)=4f\left( {{x}^{2}} \right)-{{x}^{6}}+5{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1\Rightarrow {g}'\left( x \right)=8x{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-6{{x}^{5}}+20{{x}^{3}}-8x$
$\begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 8x{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-6{{x}^{5}}+20{{x}^{3}}-8x=0\Leftrightarrow 2x\left[ 4{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-3{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}-4 \right]=0 \\
& \text{ }\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x=0\text{ } \\
& 4{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-3{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}-4=0\text{ } \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}} \right)=\dfrac{3}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}+1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Xét:
${f}'\left( {{x}^{2}} \right)=\dfrac{3}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}+1$. Đặt ${{x}^{2}}=t+2$, ta có:
${f}'\left( t+2 \right)=\dfrac{3}{4}{{\left( t+2 \right)}^{2}}-\dfrac{5}{2}\left( t+2 \right)+1=\dfrac{3}{4}\left( {{t}^{2}}+4t+4 \right)-\dfrac{5}{2}\left( t+2 \right)-1=\dfrac{3}{4}{{t}^{2}}+\dfrac{1}{2}t-1$
Khi đó số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y={f}'\left( t+2 \right)$ và
$y=\dfrac{3}{4}{{t}^{2}}+\dfrac{1}{2}t-1$
Ta có đồ thị ta có:
Dựa vào đồ thị ta có: ${f}'\left( t+2 \right)=\dfrac{3}{4}{{t}^{2}}+\dfrac{1}{2}t-1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-2 \\
& t=0 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+2=-2 \\
& x+2=0 \\
& x+2=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-4 \\
& x=-2 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng xét dấu ${g}'\left( x \right)$ như sau:

Vậy hàm số $g\left( x \right)=4f\left( {{x}^{2}} \right)-{{x}^{6}}+5{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1$ đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right).$