Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm $y=f'\left( x-1 \right)$ được cho trong hình vẽ bên. Hàm số $g\left( x...

Phương pháp:
- Tính $g'\left( x \right).$
- Đặt $2x=X-1,$ sử dụng tương giao tìm nghiệm của phương trình $g'\left( x \right)=0.$
- Lập BXD $g'\left( x \right)$ và dựa vào đáp án để kết luận khoảng đồng biến của hàm số.
Cách giải:
Ta có:
$g\left( x \right)=f\left( 2x \right)+2{{x}^{2}}+2x$
$\Rightarrow g'\left( x \right)=2f'\left( 2x \right)+4x+2$
Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( 2x \right)+2x+1=0\Leftrightarrow f'\left( 2x \right)=-2x-1.$
Đặt $2x=X-1$ ta có $f'\left( X-1 \right)=-X+1-1=-X,$ khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồthị hàm số $y=f'\left( X-1 \right)$ và $y=-X.$
Ta có đồ thị hàm số:

Dựa vào đồ thị $\Rightarrow f\left( X-1 \right)=-X\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& X=-2 \\
& X=-1 \\
& X=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x+1=-2 \\
& 2x+1=-1 \\
& 2x+1=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{3}{2} \\
& x=-1 \\
& x=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right., $ qua các nghiệm này $ g'\left( x \right)$ đổi dấu.
Ta có $g'\left( 0 \right)=2f'\left( 0 \right)+2>0$ (do $f'\left( 0 \right)>0$ ) nên ta có BXD $g'\left( x \right)$ như sau:

Vậy hàm số $g\left( x \right)=f\left( 2x \right)+2{{x}^{2}}+2x$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;0 \right).$