Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm bậc bốn thỏa mãn $f\left( 1 \right)<0$ và có bảng biến thiên của ${f}'\left( x \right)$ như sau
Hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+{{x}^{2}} \right|$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -\infty ;-1 \right)$.
B. $\left( 1;2 \right)$.
C. $\left( 0;1 \right)$.
D. $\left( -1;0 \right)$.
A. $\left( -\infty ;-1 \right)$.
B. $\left( 1;2 \right)$.
C. $\left( 0;1 \right)$.
D. $\left( -1;0 \right)$.
Xét $h\left( x \right)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+{{x}^{2}}\Rightarrow {h}'\left( x \right)=2x+\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}.{f}'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)$.
${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x\left[ 2+\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}.{f}'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)=-2\sqrt{{{x}^{2}}+1}. \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào bảng biến thiên, ta có ${f}'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)=-2\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}=2\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{3}$.
Dựa vào bảng biến thiên hàm số $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\sqrt{3} \right)$.
Vậy hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+{{x}^{2}} \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$.
${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x\left[ 2+\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}.{f}'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)=-2\sqrt{{{x}^{2}}+1}. \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào bảng biến thiên, ta có ${f}'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)=-2\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}=2\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{3}$.
Vậy hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+{{x}^{2}} \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$.
Đáp án C.