Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$, hàm số $y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên $R$ và có đồ thị như hình vẽ.
Bất phương trình $f\left( x \right)-{{\left( x-1 \right)}^{3}}>m+5x+1$ (với $m$ là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0 ; 3 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m<f\left( 3 \right)-24$.
B. $m<f\left( 0 \right)$.
C. $m\le f\left( 3 \right)-24$.
D. $m\le f\left( 0 \right)$.
A. $m<f\left( 3 \right)-24$.
B. $m<f\left( 0 \right)$.
C. $m\le f\left( 3 \right)-24$.
D. $m\le f\left( 0 \right)$.
T a có $f\left( x \right)-{{\left( x-1 \right)}^{3}}>m+5x+1, \forall x\in \left( 0 ; 3 \right)$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)-\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x \right)>m, \forall x\in \left( 0 ; 3 \right)$ $\Leftrightarrow m<\underset{\left( 0 ; 3 \right)}{\mathop{\min }} \left[ f\left( x \right)-\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x \right) \right], \forall x\in \left( 0 ; 3 \right)$
Đặt $h\left( x \right)=f\left( x \right)-\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x \right)$
Có ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( 3{{x}^{2}}-6x+8 \right)={f}'\left( x \right)-\left[ 3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+5 \right]$.
Từ đồ thị ta thấy trên khoảng $\left( 0 ; 3 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)\le 5$. Mặt khác $\left[ 3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+5 \right]\ge 5$ nên ${h}'\left( x \right)\le 0, \forall \in \left( 0 ; 3 \right)$.
Ta có hàm số $y=h\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0 ; 3 \right)$ nên từ $m<\underset{\left( 0 ; 3 \right)}{\mathop{\min }} \left[ f\left( x \right)-\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x \right) \right], \forall x\in \left( 0 ; 3 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 3 \right)-24$.
$\Leftrightarrow f\left( x \right)-\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x \right)>m, \forall x\in \left( 0 ; 3 \right)$ $\Leftrightarrow m<\underset{\left( 0 ; 3 \right)}{\mathop{\min }} \left[ f\left( x \right)-\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x \right) \right], \forall x\in \left( 0 ; 3 \right)$
Đặt $h\left( x \right)=f\left( x \right)-\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x \right)$
Có ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( 3{{x}^{2}}-6x+8 \right)={f}'\left( x \right)-\left[ 3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+5 \right]$.
Từ đồ thị ta thấy trên khoảng $\left( 0 ; 3 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)\le 5$. Mặt khác $\left[ 3{{\left( x-1 \right)}^{2}}+5 \right]\ge 5$ nên ${h}'\left( x \right)\le 0, \forall \in \left( 0 ; 3 \right)$.
Ta có hàm số $y=h\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0 ; 3 \right)$ nên từ $m<\underset{\left( 0 ; 3 \right)}{\mathop{\min }} \left[ f\left( x \right)-\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x \right) \right], \forall x\in \left( 0 ; 3 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 3 \right)-24$.
Đáp án C.