Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$, hàm số $y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình $f\left( x \right)>{{x}^{2}}-2x+m$ (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 1;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\le f\left( 2 \right)-2$.
B. $m\le f\left( 1 \right)+1$.
C. $m\le f\left( 1 \right)-1$.
D. $m\le f\left( 2 \right)$.
Ta có: $f\left( x \right)>{{x}^{2}}-2x+m\left( \forall x\in \left( 1;2 \right) \right)$ $\Leftrightarrow $ $f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2x>m\left( \forall x\in \left( 1;2 \right) \right)\left( * \right)$.
Gọi $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\left( {{x}^{2}}-2x \right)$
$\Rightarrow $ ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( 2x-2 \right)$
Theo đồ thị ta thấy ${f}'\left( x \right)<\left( 2x-2 \right)\left( \forall x\in \left[ 1;2 \right] \right)$ $\Rightarrow $ ${g}'\left( x \right)<0\left( \forall x\in \left[ 1;2 \right] \right)$.
Vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ liên tục và nghịch biến trên $\left[ 1;2 \right]$
Do đó $\left( * \right)$ $\Leftrightarrow $ $m\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=f\left( 2 \right)$.
A. $m\le f\left( 2 \right)-2$.
B. $m\le f\left( 1 \right)+1$.
C. $m\le f\left( 1 \right)-1$.
D. $m\le f\left( 2 \right)$.
Ta có: $f\left( x \right)>{{x}^{2}}-2x+m\left( \forall x\in \left( 1;2 \right) \right)$ $\Leftrightarrow $ $f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2x>m\left( \forall x\in \left( 1;2 \right) \right)\left( * \right)$.
Gọi $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\left( {{x}^{2}}-2x \right)$
$\Rightarrow $ ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( 2x-2 \right)$
Theo đồ thị ta thấy ${f}'\left( x \right)<\left( 2x-2 \right)\left( \forall x\in \left[ 1;2 \right] \right)$ $\Rightarrow $ ${g}'\left( x \right)<0\left( \forall x\in \left[ 1;2 \right] \right)$.
Vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ liên tục và nghịch biến trên $\left[ 1;2 \right]$
Do đó $\left( * \right)$ $\Leftrightarrow $ $m\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=f\left( 2 \right)$.
Đáp án D.