Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y=f'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau
Bất phương trình $f\left( x \right)<m-{{e}^{-x}}$ đúng với mọi $x\in \left( -2;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m>f\left( -2 \right)+{{e}^{2}}$.
B. $m\ge f\left( 2 \right)+\dfrac{1}{{{e}^{2}}}$.
C. $m\ge f\left( -2 \right)+{{e}^{2}}$.
D. $m>f\left( 2 \right)+\dfrac{1}{{{e}^{2}}}.$
Bất phương trình $f\left( x \right)<m-{{e}^{-x}}$ đúng với mọi $x\in \left( -2;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m>f\left( -2 \right)+{{e}^{2}}$.
B. $m\ge f\left( 2 \right)+\dfrac{1}{{{e}^{2}}}$.
C. $m\ge f\left( -2 \right)+{{e}^{2}}$.
D. $m>f\left( 2 \right)+\dfrac{1}{{{e}^{2}}}.$
Phương pháp:
- Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng $g\left( x \right)<m$ $\forall x\in \left( -2;2 \right)$ .
$g\left( x \right)<m$ $\forall x\in \left( -2;2 \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{max}} g\left( x \right)$.
Cách giải:
Ta có $f\left( x \right)<m-{{e}^{-x}}\forall x\in \left( -2;2 \right)$
⇔ $g\left( x \right)=f\left( x \right)+{{e}^{-~x}}<m$ $\forall x~\in \left( -~2;2~ \right)$
⇒ $m\ge ~\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{max}} ~g\left( x \right)~$
Ta có: $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-{{e}^{-x}}$.
Dựa vào BBT của hàm số f'(x) ta có: $f'\left( x \right)<0 \forall x\in \left( -2;2 \right)$.
Mặt khác $-{{e}^{-x}}<0 \forall x\in \left( -2;2 \right)$.
⇒ $g'\left( x \right)<0 \forall x\in \left( -2;2 \right)$.
Do đó hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -2;2 \right).$
⇒ $\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{max}} g\left( x \right)=g\left( -2 \right)=f\left( -2 \right)+{{e}^{2}}~.~$
Vậy $m\ge f\left( -2 \right)+{{e}^{2}}$.
- Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng $g\left( x \right)<m$ $\forall x\in \left( -2;2 \right)$ .
$g\left( x \right)<m$ $\forall x\in \left( -2;2 \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{max}} g\left( x \right)$.
Cách giải:
Ta có $f\left( x \right)<m-{{e}^{-x}}\forall x\in \left( -2;2 \right)$
⇔ $g\left( x \right)=f\left( x \right)+{{e}^{-~x}}<m$ $\forall x~\in \left( -~2;2~ \right)$
⇒ $m\ge ~\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{max}} ~g\left( x \right)~$
Ta có: $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-{{e}^{-x}}$.
Dựa vào BBT của hàm số f'(x) ta có: $f'\left( x \right)<0 \forall x\in \left( -2;2 \right)$.
Mặt khác $-{{e}^{-x}}<0 \forall x\in \left( -2;2 \right)$.
⇒ $g'\left( x \right)<0 \forall x\in \left( -2;2 \right)$.
Do đó hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -2;2 \right).$
⇒ $\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{max}} g\left( x \right)=g\left( -2 \right)=f\left( -2 \right)+{{e}^{2}}~.~$
Vậy $m\ge f\left( -2 \right)+{{e}^{2}}$.
Đáp án C.