Cho hàm số $y=f\left( x \right).$ Hàm số $y=f'\left( x \right)$ có...

Phương pháp:
- Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng $g\left( x \right)<m \forall x\in \left( -3;-1 \right)\Rightarrow m\ge \underset{\left[ -3; -1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right).~$
- Tính đạo hàm của hàm số g'(x), dựa vào BBT của hàm số f'(x) xác định dấu của g'(x) và tìm GTLN của hàm số g(x) trên $\left[ -3;-1 \right]$.
Cách giải:
$f\left( x \right)<\sqrt{{{x}^{2}}+e}+m \forall x\in \left( -3;-1 \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow g\left( x \right)=f\left( x \right)-\sqrt{{{x}^{2}}+e}<m \forall x\in \left( -3;-1 \right) \$/B]
& \Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -3; -1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right) \$/B]
\end{aligned}$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\sqrt{{{x}^{2}}+e}$ ta có:
$g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+e}}$
Dựa vào BBT ta có: $\forall x\in \left[ -3;-1 \right]\Rightarrow f'\left( x \right)>0$
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{{{x}^{2}}+e}>0 \forall x\in \left[ -3;-1 \right] \\
& -x>0 \forall x\in \left[ -3;-1 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow -\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+e}}>0 \forall x\in \left[ -3;-1 \right]$
$\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+e}}>0 \forall x\in \left[ -3;-1 \right]\Rightarrow $ Hàm số $y=g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ -3;-1 \right]$.
⇒ $\underset{\left[ -3;-1 \right]}{\mathop{\text{max}}} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)=f\left( -1 \right)-\sqrt{1+e}$
Vậy $m\ge f(-1)-\sqrt{e+1}$.