Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right).$ Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Biết $f\left( -1 \right)=1,$ $f\left( -\dfrac{1}{e} \right)=2.$ Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình $f\left( x \right)<\ln \left( -x \right)+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -1;-\dfrac{1}{e} \right).$
A. $m\ge 2.$
B. $m\ge 3.$
C. $m>2.$
D. $m>3.$
A. $m\ge 2.$
B. $m\ge 3.$
C. $m>2.$
D. $m>3.$
+) Ta có $f\left( x \right)<\ln \left( -x \right)+m\Leftrightarrow f\left( x \right)-\ln \left( -x \right)<m$.
+) Đặt $g(x)=f\left( x \right)-\ln \left( -x \right)\Rightarrow {g}'(x)={f}'\left( x \right)-\dfrac{1}{x},\ x<0$.
+) Bằng cách vẽ đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{x}$, và xét trên $\left[ -1;-\dfrac{1}{e} \right]$,
Ta thấy ${f}'\left( x \right)>\dfrac{1}{x},\ \forall x\in \left[ -1;-\dfrac{1}{e} \right]$ nên ${g}'(x)>0$, $\forall x\in \left[ -1;-\dfrac{1}{e} \right]$
$\Rightarrow \underset{\left[ -1;-\dfrac{1}{e} \right]}{\mathop{\text{Max}}} g(x)=g\left( -\dfrac{1}{e} \right)=f\left( -\dfrac{1}{e} \right)-\ln \left( \dfrac{1}{e} \right)=2+1=3$.
+) Vậy, $f\left( x \right)<\ln \left( -x \right)+m,\ \forall x\in \left( -1;-\dfrac{1}{e} \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -1;-\dfrac{1}{e} \right]}{\mathop{\text{Max}}} g(x)=3$.
+) Đặt $g(x)=f\left( x \right)-\ln \left( -x \right)\Rightarrow {g}'(x)={f}'\left( x \right)-\dfrac{1}{x},\ x<0$.
+) Bằng cách vẽ đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{x}$, và xét trên $\left[ -1;-\dfrac{1}{e} \right]$,
Ta thấy ${f}'\left( x \right)>\dfrac{1}{x},\ \forall x\in \left[ -1;-\dfrac{1}{e} \right]$ nên ${g}'(x)>0$, $\forall x\in \left[ -1;-\dfrac{1}{e} \right]$
$\Rightarrow \underset{\left[ -1;-\dfrac{1}{e} \right]}{\mathop{\text{Max}}} g(x)=g\left( -\dfrac{1}{e} \right)=f\left( -\dfrac{1}{e} \right)-\ln \left( \dfrac{1}{e} \right)=2+1=3$.
+) Vậy, $f\left( x \right)<\ln \left( -x \right)+m,\ \forall x\in \left( -1;-\dfrac{1}{e} \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -1;-\dfrac{1}{e} \right]}{\mathop{\text{Max}}} g(x)=3$.
Đáp án B.