Cho hàm số $y=f\left(x \right)$ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${{\left({f}'\left( x \right) \right)}^{2}}=f\left(x...

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left(x \right)\ge 0 \\
& f\left(x \right)>f\left(0 \right),\forall x>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{\left({f}'\left( x \right) \right)}^{2}}=f\left(x \right).{{e}^{x}}\Leftrightarrow {f}'\left(x \right)=\sqrt{f\left(x \right)}.{{e}^{\frac{x}{2}}}\Leftrightarrow \frac{{f}'\left(x \right)}{2\sqrt{f\left(x \right)}}=\frac{1}{2}{{e}^{\frac{x}{2}}}$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\frac{{f}'\left(x \right)}{2\sqrt{f\left(x \right)}}\text{dx}}=\int\limits_{0}^{2}{\frac{1}{2}{{e}^{\frac{x}{2}}}\text{dx}}\Leftrightarrow \left. \sqrt{f\left(x \right)} \right|_{0}^{2}=\left. {{e}^{\frac{x}{2}}} \right|_{0}^{2}\Leftrightarrow \sqrt{f\left(2 \right)}-\sqrt{f\left(0 \right)}=e-1$
$\Rightarrow f\left(2 \right)={{\left(e+\sqrt{2}-1 \right)}^{2}}\in \left(9; 10 \right)$.