Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{x+2m}{x+1}$ có đồ thị là $\left( C \right)$ và hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị là $\left( {{C}'}...

Ta có ${y}'=\dfrac{1-2m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$. Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( {{C}'} \right)$ là
$\dfrac{x+2m}{x+1}=\dfrac{1-2m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( x+1 \right)\left( x+2m \right)=1-2m \\
& x\ne -1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+(2m+1)x+4m-1=0\ \ \left( 1 \right) \\
& m\ne \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt và $m\ne \dfrac{1}{2}$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& m\ne \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{m}^{2}}-12m+5>0 \\
& m\ne \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>\dfrac{5}{2} \\
& m<\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó tọa độ hai giao điểm là $A\left( a;\dfrac{a+2m}{a+1} \right) ; B\left( b;\dfrac{b+2m}{b+1} \right)$ với $\left\{ \begin{aligned}
& a+b=-2m-1 \\
& ab=4m-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì $M\left( \dfrac{-2m-1}{2};\dfrac{-2m+3}{2} \right)$.
Có $\overrightarrow{AB}=\left( b-a ; a-b \right)$. Đường thẳng $AB$ đi qua $M$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;1 \right)$ nên có phương trình là $x+y+2m-1=0$.
$d\left( O ;AB \right)=\dfrac{\left| 2m-1 \right|}{\sqrt{2}}<5\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| 2m-1 \right|<10\Leftrightarrow -\dfrac{9}{2}<m<\dfrac{11}{2}$.
Kết hợp điều kiện ta được $-\dfrac{9}{2}<m<\dfrac{1}{2}$ hoặc $\dfrac{5}{2}<m<\dfrac{11}{2}$.
Do đó có $8$ số nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.