Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left(x \right)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ với $\left(a, b, c, d\in \mathbb{R}; c\ne 0, d\ne 0 \right)$ có đồ thị là $\left(C \right)$. Biết đồ thị của hàm số $y=f'\left(x \right)$ như hình vẽ
Và đồ thị $\left(C \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2$. Tiếp tuyến của đồ thị $\left(C \right)$ tại giao điểm của đồ thị với trục hoành có phương trình là
A. $x-3y-2=0$.
B. $x-3y+2=0$.
C. $x+3y-2=0$ .
D. $x+3y+2=0$.
Và đồ thị $\left(C \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2$. Tiếp tuyến của đồ thị $\left(C \right)$ tại giao điểm của đồ thị với trục hoành có phương trình là
A. $x-3y-2=0$.
B. $x-3y+2=0$.
C. $x+3y-2=0$ .
D. $x+3y+2=0$.
Do đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $2$ nên $\dfrac{b}{d}=2\Rightarrow b=2d$
Ta có $y'=\dfrac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}$.
Nhìn đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ đi qua hai điểm có tọa độ là $\left( 0;-3 \right)$ và $\left( -2;-3 \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{ad-bc}{{{d}^{2}}}=-3 \\
& \dfrac{ad-bc}{{{\left( -2c+d \right)}^{2}}}=-3 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{d}^{2}}={{\left( -2c+d \right)}^{2}} \\
& \dfrac{ad-bc}{{{d}^{2}}}=-3 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& c=d \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \dfrac{ad-bc}{{{d}^{2}}}=-3 \\
\end{aligned} \right.$
do $\left( c\ne 0,d\ne 0,b=2d \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=d \\
& \dfrac{a-2d}{d}=-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=d \\
& a=-d \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y=\dfrac{-x+2}{x+1}$
Giao điểm của đồ thị $\left( C \right)$ với trục hoành là $A\left( 2;0 \right)$.
Do $y'=\dfrac{-3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$ nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại $A\left( 2;0 \right)$ là
$y=\dfrac{-3}{{{\left( 2+1 \right)}^{2}}}\left( x-2 \right)$ $\Leftrightarrow y=\dfrac{-1}{3}\left( x-2 \right)$ $\Leftrightarrow x+3y-2=0$.
Ta có $y'=\dfrac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}$.
Nhìn đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ đi qua hai điểm có tọa độ là $\left( 0;-3 \right)$ và $\left( -2;-3 \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{ad-bc}{{{d}^{2}}}=-3 \\
& \dfrac{ad-bc}{{{\left( -2c+d \right)}^{2}}}=-3 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{d}^{2}}={{\left( -2c+d \right)}^{2}} \\
& \dfrac{ad-bc}{{{d}^{2}}}=-3 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& c=d \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \dfrac{ad-bc}{{{d}^{2}}}=-3 \\
\end{aligned} \right.$
do $\left( c\ne 0,d\ne 0,b=2d \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=d \\
& \dfrac{a-2d}{d}=-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=d \\
& a=-d \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y=\dfrac{-x+2}{x+1}$
Giao điểm của đồ thị $\left( C \right)$ với trục hoành là $A\left( 2;0 \right)$.
Do $y'=\dfrac{-3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$ nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại $A\left( 2;0 \right)$ là
$y=\dfrac{-3}{{{\left( 2+1 \right)}^{2}}}\left( x-2 \right)$ $\Leftrightarrow y=\dfrac{-1}{3}\left( x-2 \right)$ $\Leftrightarrow x+3y-2=0$.
Đáp án C.