Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ...

Ta có: $f\left( 3\sin x+m \right)-3=0\Leftrightarrow f\left( 3\sin x+m \right)=3$
Dựa vào đồ thị ta có: $f\left( 3\sin x+m \right)=3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3\sin x+m=-1 \\
& 3\sin x+m=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sin x=\dfrac{-1-m}{3} \\
& \sin x=\dfrac{2-m}{3}=1+\dfrac{-1-m}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có đồ thị hàm số $y=\sin x$ trên $\left[ 0;3\pi \right]$ như sau:

Dựa vào đồ thị ta có, để phương trình $f\left( 3\sin x+m \right)-3=0$ có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc $\left[ 0;3\pi \right]$ thì: $\left\{ \begin{aligned}
& -1<\dfrac{-1-m}{3}\le 0 \\
& 0<\dfrac{2-m}{3}\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -1\le m<2$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=0 \\
& m=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow S=0$.